Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: Se A é positivo definido, então seu inverso (caso exista) também o é.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador auto-adjunto 
  em um espaço euclidiano 
  de dimensão finita, e sabemos que 
  é positivo definido. O objetivo é mostrar que, se 
  é positivo definido e inversível, então o inverso de 
 , denotado por 
 , também é positivo definido.
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores auto-adjuntos e valores próprios. Precisaremos entender o que significa um operador ser positivo definido e como os valores próprios se comportam em relação ao inverso de um operador.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um operador ser positivo definido. Um operador auto-adjunto 
  é dito positivo definido se, para todo vetor não nulo 
  em 
 , o produto interno 
  é maior que zero:
Além disso, sabemos que se 
  é positivo definido, todos os seus valores próprios são reais e positivos.
Passo 3
Agora, vamos considerar o inverso de 
 , ou seja, 
 . Para que 
  exista, 
  deve ser invertível, o que é garantido se 
  for positivo definido (já que nenhum valor próprio é zero).
Nosso objetivo é mostrar que 
  também é positivo definido. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos utilizar os valores próprios para facilitar a demonstração. Como 
  é auto-adjunto e positivo definido, podemos diagonalizá-lo. Assim, existe uma base de 
  composta por vetores próprios de 
 , e podemos escrever 
  na forma diagonal:
onde 
  é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios positivos 
  de 
 , e 
  é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de 
 .
Passo 5
O inverso de 
  é dado por:
onde 
  é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os inversos dos valores próprios de 
 , ou seja, 
 .
Como todos os 
 , os elementos de 
  também são positivos:
Passo 6
Agora, vamos verificar se 
  é positivo definido. Para qualquer vetor não nulo 
 , temos:
Como 
  é ortogonal (já que 
  é auto-adjunto), podemos simplificar a expressão. Considerando a diagonalização, concluímos que:
onde 
  são as coordenadas de 
  na base de autovetores.
Como cada 
  e 
  não são todos zero (já que 
 ), temos que a soma é positiva:
Resposta
Portanto, mostramos que se 
  é um operador auto-adjunto positivo definido e inversível, então o seu inverso 
  também é positivo definido.