Em particular, mostre que \hat{\mathbf{q}}_{i} \cdot \hat{\mathbf{q}}_{i}=1 leva a uma expressão para h_{i} de acordo com as Equações (2.9). A Equação (a) pode ser tomada como um ponto de partida para derivar
O enunciado trata de coordenadas curvilíneas ortogonais (q_{1},q_{2},q_{3}). A posição de um ponto no espaço é dada por \mathbf{r}=\mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3}). Queremos definir vetores unitários ortogonais \hat{\mathbf{q}}_{i} e os fatores de escala h_{i} tais que
Em coordenadas regulares, as derivadas parciais comutam, isto é \partial^{2}\mathbf{r}/\partial q_{j}\partial q_{i}
=\partial^{2}\mathbf{r}/\partial q_{i}\partial q_{j}.
Além disso, a ortogonalidade implica \partial\mathbf{r}/\partial q_{i}\cdot\partial\mathbf{r}/\partial q_{j}=0 para i\neq j.
Diferenciando essa última relação em q_{i} e projetando sobre \partial\mathbf{r}/\partial q_{j} mostra-se que
Para i\neq j, a derivada \partial\hat{\mathbf{q}}_{i}/\partial q_{j} deve ser ortogonal a \hat{\mathbf{q}}_{i}, pois \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{i}=1 implica \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\partial\hat{\mathbf{q}}_{i}/\partial q_{j}=0.
Logo o coeficiente de \hat{\mathbf{q}}_{i} no resultado acima se anula, o que força \partial h_{i}/\partial q_{j}=0.
Fica então
Para i=j, podemos usar a identidade de que a derivada total de \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{i}=1 em relação a q_{i} é zero, ou então escrever \displaystyle\sum_{k}\hat{\mathbf{q}}_{k}\hat{\mathbf{q}}_{k}=\mathbf{I} e derivar em q_{i}. Em ambos os casos conclui-se que