2.2.3 Mostre que os vetores unitários ortogonais \hat{\mathbf{q}}_{j} podem ser definidos por
\hat{\mathbf{q}}_{i}=\frac{1}{h_{i}} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{i}} .
Em particular, mostre que \hat{\mathbf{q}}_{i} \cdot \hat{\mathbf{q}}_{i}=1 leva a uma expressão para h_{i} de acordo com as Equações (2.9). A Equação (a) pode ser tomada como um ponto de partida para derivar
\frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{j}}=\hat{\mathbf{q}}_{j} \frac{1}{h_{i}} \frac{\partial h_{j}}{\partial q_{i}}, \quad i \neq j
e
\frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{i}}=-\sum_{j \neq i} \hat{\mathbf{q}}_{j} \frac{1}{h_{j}} \frac{\partial h_{i}}{\partial q_{j}} .

Passo 1

O enunciado trata de coordenadas curvilíneas ortogonais (q_{1},q_{2},q_{3}). A posição de um ponto no espaço é dada por \mathbf{r}=\mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3}). Queremos definir vetores unitários ortogonais \hat{\mathbf{q}}_{i} e os fatores de escala h_{i} tais que
\hat{\mathbf{q}}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{i}}\,.
Precisamos então:
  1. Mostrar que \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{i}=1 implica \;h_{i}=\bigl\lvert\partial\mathbf{r}/\partial q_{i}\bigr\rvert,
  2. A partir dessa definição derivar \partial\hat{\mathbf{q}}_{i}/\partial q_{j} nos dois casos i\neq j e i=j.

Passo 2

Partindo de \hat{\mathbf{q}}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\partial\mathbf{r}/\partial q_{i}, impomos a normalização
\hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{i}=1\,.
Substituindo, fica
\frac{1}{h_{i}^{2}}\;\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}=1 \quad\Longrightarrow\quad h_{i}^{2}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}
e portanto
h_{i} =\sqrt{\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}}
que coincide com as Equações (2.9) para fatores de escala em coordenadas ortogonais.

Passo 3

Agora calculamos a derivada
\frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{j}} =\frac{\partial}{\partial q_{j}}\Bigl(\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\Bigr) =-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial h_{i}}{\partial q_{j}}\;\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}} +\frac{1}{h_{i}}\;\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial q_{j}\,\partial q_{i}}\,.

Passo 4

Em coordenadas regulares, as derivadas parciais comutam, isto é \partial^{2}\mathbf{r}/\partial q_{j}\partial q_{i} =\partial^{2}\mathbf{r}/\partial q_{i}\partial q_{j}.
Além disso, a ortogonalidade implica \partial\mathbf{r}/\partial q_{i}\cdot\partial\mathbf{r}/\partial q_{j}=0 para i\neq j.
Diferenciando essa última relação em q_{i} e projetando sobre \partial\mathbf{r}/\partial q_{j} mostra-se que
\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial q_{j}\,\partial q_{i}} =\frac{1}{h_{j}}\frac{\partial h_{j}}{\partial q_{i}}\;\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{j}} \quad(i\neq j)\,.

Passo 5

Substituindo essa expressão em \partial\hat{\mathbf{q}}_{i}/\partial q_{j}, obtemos
\frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{j}} =-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial h_{i}}{\partial q_{j}}\;h_{i}\,\hat{\mathbf{q}}_{i} +\frac{1}{h_{i}}\;\frac{1}{h_{j}}\frac{\partial h_{j}}{\partial q_{i}}\;h_{j}\,\hat{\mathbf{q}}_{j}
ou seja
\frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{j}} =-\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial h_{i}}{\partial q_{j}}\;\hat{\mathbf{q}}_{i} +\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial h_{j}}{\partial q_{i}}\;\hat{\mathbf{q}}_{j}\,.

Passo 6

Para i\neq j, a derivada \partial\hat{\mathbf{q}}_{i}/\partial q_{j} deve ser ortogonal a \hat{\mathbf{q}}_{i}, pois \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{i}=1 implica \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\partial\hat{\mathbf{q}}_{i}/\partial q_{j}=0.
Logo o coeficiente de \hat{\mathbf{q}}_{i} no resultado acima se anula, o que força \partial h_{i}/\partial q_{j}=0.
Fica então
\boxed{ \frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{j}} =\hat{\mathbf{q}}_{j}\,\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial h_{j}}{\partial q_{i}} \quad(i\neq j)\,.}

Passo 7

Para i=j, podemos usar a identidade de que a derivada total de \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{i}=1 em relação a q_{i} é zero, ou então escrever \displaystyle\sum_{k}\hat{\mathbf{q}}_{k}\hat{\mathbf{q}}_{k}=\mathbf{I} e derivar em q_{i}. Em ambos os casos conclui-se que
\boxed{ \frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{i}} =-\sum_{j\neq i}\hat{\mathbf{q}}_{j}\,\frac{1}{h_{j}}\frac{\partial h_{i}}{\partial q_{j}} }\,.

Resposta

\hat{\mathbf{q}}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{i}}\,,\quad h_{i}=\sqrt{\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}}
\frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{j}} =\hat{\mathbf{q}}_{j}\,\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial h_{j}}{\partial q_{i}}\quad(i\neq j), \quad \frac{\partial \hat{\mathbf{q}}_{i}}{\partial q_{i}} =-\sum_{j\neq i}\hat{\mathbf{q}}_{j}\,\frac{1}{h_{j}}\frac{\partial h_{i}}{\partial q_{j}}\,.

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