Mostre que os vetores 
  e 
  de um espaço vetorial 
  são LI se, e somente se, os vetores 
  e 
  também o são.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores 
  em um espaço vetorial 
  são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores 
  também forem LI. A matéria em questão é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como manipular combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores 
  é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se 
  implica que 
 .
Passo 3
Vamos começar provando uma direção: se 
  é LI, então 
  também é LI.
Passo 4
Suponha que 
 . Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com 
 :
Passo 5
Como 
  é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se 
 , então 
 . Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que 
  é LI.
Passo 6
Agora, vamos provar a outra direção: se 
  é LI, então 
  também é LI.
Passo 7
Suponha que 
 . Podemos reescrever 
  em termos de 
 :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com 
 :
Passo 8
Como 
  é LI, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Da primeira equação, se 
 , então 
 . Assim, todos os coeficientes são zero, o que prova que 
  é LI.
Resposta
Os vetores 
  são linearmente independentes se e somente se os vetores 
  também forem linearmente independentes.