Dados 
  subespaços do espaço vetorial 
  determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de 
 .
 .
uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial 
  e dois subespaços 
  e 
 . O foco aqui é determinar uma base e a dimensão de 
 , que é definido por todos os vetores 
  em 
  que satisfazem a equação 
 . Para resolver isso, vamos precisar mexer com conceitos de espaço vetorial, bases e dimensão. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linhasmente independentes e que geram todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de vetores nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a condição 
 . Isso define uma relação entre as coordenadas 
 , 
  e 
  dos vetores em 
 . Para encontrar uma base, queremos expressar alguns desses componentes em termos de outros, facilitando a identificação dos vetores que vão gerar todo o subespaço.
Passo 3
Vamos resolver a equação 
  para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar 
 :
Assim, qualquer vetor em 
  pode ser escrito como 
 .
Passo 4
Agora, vamos expressar 
  de uma forma que destaque os coeficientes de 
  e 
 :
Isso mostra que qualquer vetor em 
  é uma combinação linear dos vetores 
  e 
 .
Passo 5
Os vetores 
  e 
  são linhagem independente, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para 
 .
Resposta
Uma base para 
  é 
  e a dimensão de 
  é 2.