Mostre que
W=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & d \end{array}\right]: a, b, d \in \mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de M(2 \times 2) e calcule \operatorname{dim} W.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = \left\{ \begin{pmatrix}a & b \\[6pt]0 & d\end{pmatrix} : a,b,d\in\mathbb{R} \right\}
e pede que mostremos que W é um subespaço vetorial de M(2\times2) e que calculemos \dim W. Para isso vamos usar a definição de subespaço (não vazio, fechado em soma e em multiplicação por escalar) e depois encontrar uma base de W.]

Passo 2

Mostramos que W é subespaço de M(2\times2):
  1. Zero: escolhendo a=b=d=0 obtemos \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W.
  2. Fechamento em soma: dadas \displaystyle X=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\\ 0&d_1\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a_2&b_2\\\ 0&d_2\end{pmatrix} em W,
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[3pt]0 & d_1+d_2\end{pmatrix}
e a_1+a_2,b_1+b_2,d_1+d_2\in\mathbb{R}, logo X+Y\in W.
3. Fechamento em escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\\ 0&d\end{pmatrix},
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[3pt]0 & \lambda d\end{pmatrix}
com \lambda a,\lambda b,\lambda d\in\mathbb{R}, logo \lambda X\in W.
Portanto W satisfaz os três requisitos e é subespaço de M(2\times2).]

Passo 3

Para calcular \dim W, exibimos uma base. Observe que todo \displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\\ 0&d\end{pmatrix}\in W pode ser escrito como
a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \;+\; b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} \;+\; d\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Logo os três vetores
E_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
geram W. Eles são também linearmente independentes, pois a combinação \alpha E_1+\beta E_2+\gamma E_3=0 força \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de W.

Resposta

\dim W = 3.

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