Q4: Considere a base \beta do \mathbb{R}^{3} dada por:
\beta=\left\{\left[\begin{array}{l} -2 \\\\ -4 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} -3 \\\\ -3 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} -4 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
Se as coordenadas do vetor \vec{v} com relação à base \beta são dadas por [\vec{v}]=(-4,-1,2), então a 2^{\mathrm{a}} entrada de \vec{v} é:
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(1) 13
(E) 14
(F) 15

Passo 1

O enunciado define a base \beta=\{v_1,v_2,v_3\} de \mathbb{R}^3, com
v_1=\begin{pmatrix}-2\\\ -4\\\ -2\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ -4\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-4\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix},
e dá as coordenadas de \vec{v} em \beta como [\,\vec{v}\,]=(-4,-1,2).
Precisamos encontrar a segunda entrada de \vec{v} no sistema canônico.

Passo 2

Para converter para a base canônica, escrevemos
\vec{v} = -4\,v_1 + (-1)\,v_2 + 2\,v_3.
Substituindo cada vetor:
-4\,v_1 = \begin{pmatrix}8\\\ 16\\\ 8\end{pmatrix}, \quad -1\,v_2 = \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}, \quad 2\,v_3 = \begin{pmatrix}-8\\\ -6\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 3

Somando componente a componente, obtemos
\vec{v} = \begin{pmatrix}8+3-8\\\ 16+3-6\\\ 8+4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 13\\\ 10\end{pmatrix}.
Logo, a segunda componente de \vec{v}$ é 13.

Resposta

13

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