Mostre que:
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
quando
.
Informações relevantes que o enunciado dá (e uma observação importante):
- O intervalo escrito é
. Atenção: não está definida em , portanto a desigualdade faz sentido para . Vou, então, provar a desigualdade para
- No ponto
temos , então a igualdade deve ocorrer ali. - Objetivo: mostrar que para todo
no intervalo acima vale .
Passo 2
Escolhemos estudar a função
definida para
. A ideia é mostrar que
nesse intervalo. Uma ferramenta simples e poderosa para isso é estudar a derivada de
: se conseguirmos mostrar que
para todo
no intervalo e que
, então
é crescente e teremos
para todo
.
Explicação curta (intuitiva) do porquê: a derivada
mede a inclinação de
. Se
em todo o intervalo,
nunca desce — ou seja, é crescente — então valores à direita de
não podem ser menores que
. Formalmente, isso pode ser justificado pelo Teorema de Rolle / Teorema do Valor Médio, mas aqui usamos a ideia prática: derivada não-negativa ⇒ função crescente.
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
, obtemos
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental
que é válida sempre que as funções existirem. Subtraindo
dos dois lados da identidade obtemos
Portanto
Passo 4
Observamos que
para todo
onde
está definida (o quadrado de um número real é sempre não negativo). Assim, para todo
com
temos
Além disso, para
no intervalo temos
(estritamente positivo), então
é estritamente crescente em
e ao menos não decrescente em todo
.
Passo 5
Avaliamo
em
:
Como
para todo
, concluímos que
é crescente nesse intervalo. Logo, para todo
com
vale
i.e.
Rearranjando,
Passo 6
Para reforçar a intuição, apresento uma prova alternativa rápida usando integrais (opcional na prova, mas didático): escrevemos
Como
para
no intervalo, a integral é não negativa, o que dá novamente
.