Mostre que:
x \leq \tan x, se 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
x \leq \tan x
quando 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.
Informações relevantes que o enunciado dá (e uma observação importante):
  • O intervalo escrito é 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}. Atenção: \tan x não está definida em x=\frac{\pi}{2}, portanto a desigualdade faz sentido para 0 \leq x < \frac{\pi}{2}. Vou, então, provar a desigualdade para
0 \leq x < \frac{\pi}{2}.
  • No ponto x=0 temos \tan 0=0, então a igualdade deve ocorrer ali.
  • Objetivo: mostrar que para todo x no intervalo acima vale \tan x - x \ge 0.

Passo 2

Escolhemos estudar a função
f(x)=\tan x - x,
definida para 0 \leq x < \frac{\pi}{2}. A ideia é mostrar que f(x)\ge 0 nesse intervalo. Uma ferramenta simples e poderosa para isso é estudar a derivada de f: se conseguirmos mostrar que f'(x)\ge 0 para todo x no intervalo e que f(0)=0, então f é crescente e teremos f(x)\ge f(0)=0 para todo x\ge0.
Explicação curta (intuitiva) do porquê: a derivada f'(x) mede a inclinação de f. Se f'(x)\ge 0 em todo o intervalo, f nunca desce — ou seja, é crescente — então valores à direita de 0 não podem ser menores que f(0). Formalmente, isso pode ser justificado pelo Teorema de Rolle / Teorema do Valor Médio, mas aqui usamos a ideia prática: derivada não-negativa ⇒ função crescente.

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Lembrando que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x e a derivada de x é 1, obtemos
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x - 1.
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental
1+\tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x,
que é válida sempre que as funções existirem. Subtraindo 1 dos dois lados da identidade obtemos
\operatorname{sec}^2 x - 1 = \tan^2 x.
Portanto
f'(x)=\tan^2 x.

Passo 4

Observamos que \tan^2 x \ge 0 para todo x onde \tan x está definida (o quadrado de um número real é sempre não negativo). Assim, para todo x com 0 \le x < \frac{\pi}{2} temos
f'(x)=\tan^2 x \ge 0.
Além disso, para x>0 no intervalo temos \tan^2 x>0 (estritamente positivo), então f é estritamente crescente em (0,\frac{\pi}{2}) e ao menos não decrescente em todo [0,\frac{\pi}{2}).

Passo 5

Avaliamo f em 0:
f(0)=\tan 0 - 0 = 0.
Como f'(x)\ge 0 para todo x\in[0,\frac{\pi}{2}), concluímos que f é crescente nesse intervalo. Logo, para todo x com 0 \le x < \frac{\pi}{2} vale
f(x)\ge f(0)=0,
i.e.
\tan x - x \ge 0.
Rearranjando,
x \le \tan x.

Passo 6

Para reforçar a intuição, apresento uma prova alternativa rápida usando integrais (opcional na prova, mas didático): escrevemos
\tan x - x = \int_{0}^{x} (\operatorname{sec}^2 t - 1)\,dt = \int_{0}^{x} \tan^2 t \,dt.
Como \tan^2 t \ge 0 para t no intervalo, a integral é não negativa, o que dá novamente \tan x - x \ge 0.

Resposta

x \le \tan x, para 0 \le x < \frac{\pi}{2} (com igualdade em x=0).

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