Sejam f e g funções deriváveis em [a, b] satisfazendo f(a) \leq g(a) e f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x), \forall x \in[a, b]. Mostre que f(x) \leq g(x), \forall x \in[a, b]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Informações dadas:
    • São dadas duas funções f e g deriváveis em [a,b].
    • Temos \;f(a)\le g(a)\;.
    • Para todo x\in[a,b] vale \;f'(x)\le g'(x)\;.
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que \;f(x)\le g(x)\; para todo x\in[a,b].

Passo 2

Vamos simplificar a questão olhando para a diferença entre as funções. Defina a função
h(x)=f(x)-g(x).
Explico por que isso ajuda e quais propriedades h tem:
  • Como f e g são deriváveis, a diferença h também é derivável (a derivada da diferença é a diferença das derivadas). Ou seja,
h'(x)=f'(x)-g'(x),\qquad \forall x\in[a,b].
  • Das hipóteses do enunciado obtemos:
    • \;h(a)=f(a)-g(a)\le 0\;.
    • Para todo x\in[a,b]: \;h'(x)=f'(x)-g'(x)\le 0\;.
Portanto, temos uma função h tal que h(a)\le 0 e h'(x)\le 0 para todo x\in[a,b]. A meta agora é mostrar que isso implica h(x)\le 0 para todo x\in[a,b].

Passo 3

Aqui entra uma ferramenta clássica: o Teorema do Valor Médio (TVM). Vou enunciá‑lo e explicar bem.
Teorema do Valor Médio (TVM):
Se uma função u é contínua em [p,q] e diferenciável em (p,q), então existe um ponto c\in(p,q) tal que
u(q)-u(p)=u'\text{(c)}\,(q-p).
O que as variáveis significam aqui:
  • u é qualquer função que satisfaça as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade no intervalo considerado.
  • p e q são as extremidades do intervalo.
  • O número c é algum ponto interior (p,q) onde a igualdade acima vale.
Justificativa de aplicação: como h é derivável em [a,b] (logo contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b)), podemos aplicar o TVM no intervalo [a,x] para qualquer x\in(a,b]. Assim existe c\in(a,x) tal que
h(x)-h(a)=h'\text{(c)}\,(x-a).

Passo 4

Use agora a desigualdade sobre h' e a fórmula do TVM que obtivemos.
  • Pelo Passo 2 sabemos que h'\text{(c)}\le 0.
  • Além disso, para x\in(a,b] temos x-a>0.
  • Então o produto h'\text{(c)}\,(x-a)\le 0.
Pelo TVM temos
h(x)-h(a)=h'\text{(c)}\,(x-a)\le 0.
Portanto h(x)\le h(a). Mas sabemos também que h(a)\le 0. Juntando:
h(x)\le h(a)\le 0 \quad\Rightarrow\quad h(x)\le 0.
Isso vale para todo x\in(a,b]. Para x=a a desigualdade é trivial, pois já foi dada h(a)\le 0. Logo, para todo x\in[a,b] temos h(x)\le 0.

Passo 5

Traduzindo de volta para f e g: como h(x)=f(x)-g(x)\le 0 para todo x\in[a,b], concluímos que
f(x)\le g(x),\qquad \forall x\in[a,b].

Resposta

f(x)\le g(x),\\ \forall x\in[a,b]

Exercícios relacionados