Mostre que x(t)=A \cos \left(\omega_{n} t-\varphi\right) \operatorname{com} \omega_{n}=\sqrt{k / m} é solução da equação de movimento m \ddot{x}+k x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \,x(t)=A\cos\big(\omega_{n}t-\varphi\big)\, com \,\omega_{n}=\sqrt{k/m}\, e pede para mostrar que ela é solução da equação de movimento
m\ddot{x}+k x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • \,A\,,\;\varphi\,,\;k\,,\;m são constantes (tipicamente m>0 e k>0).
  • A variável independente é t.
  • A tarefa é verificar que, substituindo x(t) na equação diferencial, a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada temporal de \,x(t). Aqui usamos a regra da cadeia: se \,x(t)=A\cos(u(t)), então \,\dot{x}(t)=-A\sin(u(t))\,u'(t). No nosso caso tomamos
u(t)=\omega_{n}t-\varphi,
logo u'(t)=\omega_{n} porque \varphi é constante e a derivada de \omega_{n}t em relação a t é \omega_{n}. Aplicando isso:
\dot{x}(t) = -A\,\omega_{n}\sin\big(\omega_{n}t-\varphi\big).
Explicando devagar: a derivada de \cos é -\sin, e multiplicamos pelo derivado interno \omega_{n}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada, ou aceleração, derivando \,\dot{x}(t). Usamos novamente a regra da cadeia e que a derivada de \sin é \cos:
\ddot{x}(t) = -A\,\omega_{n}\cdot \frac{d}{dt}\Big[\sin\big(\omega_{n}t-\varphi\big)\Big] = -A\,\omega_{n}\cdot \omega_{n}\cos\big(\omega_{n}t-\varphi\big).
Simplificando os fatores \omega_{n}:
\ddot{x}(t) = -A\,\omega_{n}^{2}\cos\big(\omega_{n}t-\varphi\big).
Observação didática: a segunda derivada volta a dar uma função \cos com sinal negativo porque a oscilação harmônica tem aceleração proporcional e oposta ao deslocamento.

Passo 4

Substituímos \,x(t) e \,\ddot{x}(t) na equação diferencial \,m\ddot{x}+k x=0. Escrevendo cada termo:
m\ddot{x}(t) = m\Big(-A\,\omega_{n}^{2}\cos(\omega_{n}t-\varphi)\Big) = -mA\,\omega_{n}^{2}\cos(\omega_{n}t-\varphi),
k x(t) = k\Big(A\cos(\omega_{n}t-\varphi)\Big) = kA\cos(\omega_{n}t-\varphi).
Somando-os:
m\ddot{x}(t)+k x(t) = A\cos(\omega_{n}t-\varphi)\big(-m\omega_{n}^{2}+k\big).

Passo 5

Usamos a definição dada de \,\omega_{n}. Como \,\omega_{n}=\sqrt{k/m}\,, temos \,\omega_{n}^{2}=k/m. Portanto
m\omega_{n}^{2}=m\cdot\frac{k}{m}=k.
Substituindo no fator da expressão anterior:
-m\omega_{n}^{2}+k = -k + k = 0.
Logo
m\ddot{x}(t)+k x(t) = A\cos(\omega_{n}t-\varphi)\cdot 0 = 0.

Passo 6

Conclusão: a função \,x(t)=A\cos(\omega_{n}t-\varphi)\, satisfaz a equação diferencial \,m\ddot{x}+k x=0 para qualquer escolha das constantes \,A e \varphi. Intuição física rápida: a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, com constante de proporcionalidade \omega_{n}^{2}=k/m, característica de um oscilador harmônico simples.

Resposta

\,x(t)=A\cos(\omega_{n}t-\varphi)\, satisfaz \,m\ddot{x}+k x=0, pois a substituição leva à identidade 0=0.

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