Mostre que
é solução da equação de movimento
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede para mostrar que ela é solução da equação de movimento
Informações relevantes fornecidas:
-
são constantes (tipicamente e ). - A variável independente é
. - A tarefa é verificar que, substituindo
na equação diferencial, a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada temporal de
. Aqui usamos a regra da cadeia: se
, então
. No nosso caso tomamos
logo
porque
é constante e a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Explicando devagar: a derivada de
é
, e multiplicamos pelo derivado interno
.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada, ou aceleração, derivando
. Usamos novamente a regra da cadeia e que a derivada de
é
:
Simplificando os fatores
:
Observação didática: a segunda derivada volta a dar uma função
com sinal negativo porque a oscilação harmônica tem aceleração proporcional e oposta ao deslocamento.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
. Escrevendo cada termo:
Somando-os:
Passo 5
Usamos a definição dada de
. Como
, temos
. Portanto
Substituindo no fator da expressão anterior:
Logo
Passo 6
Conclusão: a função
satisfaz a equação diferencial
para qualquer escolha das constantes
e
. Intuição física rápida: a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, com constante de proporcionalidade
, característica de um oscilador harmônico simples.