Um sistema massa-mola tem uma frequência natural de 15 Hz . Quando a constante elástica é reduzida de
, a frequência é alterada em 45 por cento. Determine a massa e a constante elástica do sistema original.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação 1: a frequência natural original é
. - Informação 2: a constante elástica é reduzida em
; ou seja, se a constante original for , a nova constante é . - Informação 3: com essa redução da constante, a frequência é alterada em
. Como a constante foi reduzida, a frequência também diminui; portanto a nova frequência é menor que a original (ou seja, da original).
Perguntas:
- Determinar a massa
do sistema. - Determinar a constante elástica original
.
Passo 2
Apresento a fórmula física que relaciona frequência natural, massa e constante elástica, e explico cada termo.
A frequência natural (em Hz) de um sistema massa-mola sem amortecimento é dada por
Aqui:
-
é a frequência em hertz ( ), -
é a constante elástica da mola em , -
é a massa em , -
aparece porque a frequência em hertz está relacionada à pulsação por e .
Vamos usar essa fórmula para relacionar as duas situações (antes e depois da redução de
).
Passo 3
Escrevo as equações para a situação original e para a situação após a redução de
.
- Frequência original: com
e ,
Como dado,
.
- Frequência após reduzir
em : constante vira , massa continua ,
Pela interpretação do enunciado (redução de
da frequência):
Passo 4
Vou eliminar o fator comum
e
para obter uma equação apenas em
.
Das expressões de
e
:
Ao quadrar os dois lados (isso elimina as raízes e o
em ambos os lados):
Como
, podemos cancelar
:
Calculando
:
Logo:
Isolando
:
Portanto
Faço a divisão numérica:
Arredondando de forma razoável:
Passo 5
Com
encontrado, calculo a massa
usando a fórmula da frequência original.
Reescrevo a fórmula para isolar
:
Substituo
e
.
Calculo o denominador:
Calculo o denominador:
Como
,
Agora:
Arredondando:
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio (para você poder repetir na prova): use
, escreva a relação entre as frequências antes e depois da alteração de
, cancele
ao quadrar a razão e resolva primeiro
; depois volte para a fórmula original para obter
. Boa! Você já tem as respostas e o processo para refazer com segurança na prova — respira fundo e confia.