Um sistema massa-mola tem uma frequência natural de 15 Hz . Quando a constante elástica é reduzida de 700 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, a frequência é alterada em 45 por cento. Determine a massa e a constante elástica do sistema original.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação 1: a frequência natural original é 15\\ \mathrm{Hz}.
  • Informação 2: a constante elástica é reduzida em 700\\ \mathrm{N/m}; ou seja, se a constante original for k, a nova constante é k-700.
  • Informação 3: com essa redução da constante, a frequência é alterada em 45\%. Como a constante foi reduzida, a frequência também diminui; portanto a nova frequência é 45\% menor que a original (ou seja, 100\%-45\%=55\% da original).
Perguntas:
  • Determinar a massa m do sistema.
  • Determinar a constante elástica original k.

Passo 2

Apresento a fórmula física que relaciona frequência natural, massa e constante elástica, e explico cada termo.
A frequência natural (em Hz) de um sistema massa-mola sem amortecimento é dada por
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui:
  • f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz}),
  • k é a constante elástica da mola em \mathrm{N/m},
  • m é a massa em \mathrm{kg},
  • 2\pi aparece porque a frequência em hertz está relacionada à pulsação \omega por \omega=2\pi f e \omega=\sqrt{k/m}.
Vamos usar essa fórmula para relacionar as duas situações (antes e depois da redução de k).

Passo 3

Escrevo as equações para a situação original e para a situação após a redução de k.
  • Frequência original: com k e m,
f_1=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Como dado, f_1=15\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência após reduzir k em 700\\ \mathrm{N/m}: constante vira k-700, massa continua m,
f_2=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k-700}{m}}.
Pela interpretação do enunciado (redução de 45\% da frequência):
f_2=0{,}55\,f_1.

Passo 4

Vou eliminar o fator comum 1/(2\pi) e m para obter uma equação apenas em k.
Das expressões de f_1 e f_2:
\sqrt{\frac{k-700}{m}}=0{,}55\sqrt{\frac{k}{m}}.
Ao quadrar os dois lados (isso elimina as raízes e o m em ambos os lados):
\frac{k-700}{m}=0{,}55^{2}\,\frac{k}{m}.
Como m\neq0, podemos cancelar 1/m:
k-700=0{,}55^{2}k.
Calculando 0{,}55^{2}:
0{,}55^{2}=0{,}3025.
Logo:
k-700=0{,}3025\,k.
Isolando k:
k-0{,}3025\,k=700
(1-0{,}3025)k=700
0{,}6975\,k=700.
Portanto
k=\frac{700}{0{,}6975}.
Faço a divisão numérica:
k\approx1003{,}5971223\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando de forma razoável:
k\approx1003{,}6\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Com k encontrado, calculo a massa m usando a fórmula da frequência original.
Reescrevo a fórmula para isolar m:
f_1=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
2\pi f_1=\sqrt{\frac{k}{m}}
(2\pi f_1)^2=\frac{k}{m}
m=\frac{k}{(2\pi f_1)^2}.
Substituo k\approx1003{,}5971223\\ \mathrm{N/m} e f_1=15\\ \mathrm{Hz}.
Calculo o denominador:
(2\pi f_1)^2=(2\pi\cdot15)^2=(30\pi)^2=900\pi^2.
Como \pi^2\approx9{,}8696044,
900\pi^2\approx900\cdot9{,}8696044\approx8882{,}64396.
Agora:
m=\frac{1003{,}5971223}{8882{,}64396}\\ \mathrm{kg}\approx0{,}113043\\ \mathrm{kg}.
Arredondando:
m\approx0{,}1130\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio (para você poder repetir na prova): use f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}, escreva a relação entre as frequências antes e depois da alteração de k, cancele m ao quadrar a razão e resolva primeiro k; depois volte para a fórmula original para obter m. Boa! Você já tem as respostas e o processo para refazer com segurança na prova — respira fundo e confia.

Resposta

k\approx1003{,}6\\ \mathrm{N/m}
m\approx0{,}1130\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados