A aproximação \operatorname{sen} \theta=\theta é razoável para \theta<10^{\circ}. Considerando essa aproximação, qual é a máxima velocidade inicial que pode ser dada a um pêndulo simples de comprimento 0,5 \mathrm{~m} que tem posição inicial \theta(0)=0.
Passo 1
Dados e o que se pede: a aproximação \operatorname{sen}\theta=\theta é razoável para \theta<10^\circ. O pêndulo simples tem comprimento L=0{,}5\\ \mathrm{m} e posição inicial \theta(0)=0. A pergunta é: qual é a máxima velocidade inicial que se pode dar ao pêndulo mantendo a aproximação válida? Vou fornecer a máxima velocidade inicial na forma angular (velocidade angular \dot{\theta}(0), em \mathrm{rad/s}) e também a correspondente velocidade linear tangencial do corpo (em \mathrm{m/s}).
Passo 2
Entendendo a aproximação e a equação do movimento: para pequenos ângulos usamos \operatorname{sen}\theta\approx\theta. Isso lineariza a equação do pêndulo para um oscilador harmônico simples:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
Aqui \theta(t) é o deslocamento angular em radianos, \ddot{\theta} é a aceleração angular, g é a aceleração da gravidade (g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}) e L é o comprimento do fio (L=0{,}5\\ \mathrm{m}). A frequência angular natural do sistema é
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
Passo 3
Solução geral do oscilador e condições iniciais: a solução da equação do passo anterior é combinação de seno e cosseno. Com \theta(0)=0 e definindo \dot{\theta}(0)=\dot{\theta}_0 (a velocidade angular inicial), a solução fica
Converter para velocidade linear tangencial do objeto na ponta do fio: a velocidade linear tangencial v está relacionada à velocidade angular por v=L\dot{\theta}. Assim