A aproximação \operatorname{sen} \theta=\theta é razoável para \theta<10^{\circ}. Considerando essa aproximação, qual é a máxima velocidade inicial que pode ser dada a um pêndulo simples de comprimento 0,5 \mathrm{~m} que tem posição inicial \theta(0)=0.

Passo 1

Dados e o que se pede: a aproximação \operatorname{sen}\theta=\theta é razoável para \theta<10^\circ. O pêndulo simples tem comprimento L=0{,}5\\ \mathrm{m} e posição inicial \theta(0)=0. A pergunta é: qual é a máxima velocidade inicial que se pode dar ao pêndulo mantendo a aproximação válida? Vou fornecer a máxima velocidade inicial na forma angular (velocidade angular \dot{\theta}(0), em \mathrm{rad/s}) e também a correspondente velocidade linear tangencial do corpo (em \mathrm{m/s}).

Passo 2

Entendendo a aproximação e a equação do movimento: para pequenos ângulos usamos \operatorname{sen}\theta\approx\theta. Isso lineariza a equação do pêndulo para um oscilador harmônico simples:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
Aqui \theta(t) é o deslocamento angular em radianos, \ddot{\theta} é a aceleração angular, g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}) e L é o comprimento do fio ( L=0{,}5\\ \mathrm{m}). A frequência angular natural do sistema é
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.

Passo 3

Solução geral do oscilador e condições iniciais: a solução da equação do passo anterior é combinação de seno e cosseno. Com \theta(0)=0 e definindo \dot{\theta}(0)=\dot{\theta}_0 (a velocidade angular inicial), a solução fica
\theta(t)=\frac{\dot{\theta}_0}{\omega}\,\sin(\omega t).
Desta fórmula vemos que a amplitude máxima angular (valor absoluto máximo de \theta) é
\Theta_{\max}=\left|\frac{\dot{\theta}_0}{\omega}\right|.
Portanto, para que a aproximação seja válida precisamos impor \Theta_{\max}<10^\circ.

Passo 4

Converter 10^\circ para radianos e impor a condição: sabemos que
10^\circ=\frac{10\pi}{180}=\frac{\pi}{18}\\ \text{rad}\approx 0{,}174533\\ \text{rad}.
Impondo \Theta_{\max}\le \frac{\pi}{18} obtemos
\left|\dot{\theta}_0\right| \le \omega\cdot\frac{\pi}{18}.

Passo 5

Calcular numericamente \omega e \dot{\theta}_0^{\max}: com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e L=0{,}5\\ \mathrm{m},
\omega=\sqrt{\frac{9{,}81}{0{,}5}}=\sqrt{19{,}62}\approx 4{,}429446\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
\dot{\theta}_0^{\max}=\omega\cdot\frac{\pi}{18}\approx 4{,}429446\times 0{,}174533\approx 0{,}7721\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Converter para velocidade linear tangencial do objeto na ponta do fio: a velocidade linear tangencial v está relacionada à velocidade angular por v=L\dot{\theta}. Assim
v_{\max}=L\cdot\dot{\theta}_0^{\max}=0{,}5\times 0{,}7721\approx 0{,}3861\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\dot{\theta}_0^{\max}\approx 0{,}772\\ \mathrm{rad/s}
v_{\max}\approx 0{,}386\\ \mathrm{m/s}

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