Mostre que
satisfaz a equação de onda em 1 dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de onda em uma dimensão. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e funções de onda, que são conceitos importantes em física, especialmente em mecânica e ondas. Vamos precisar usar derivadas para mostrar que a função dada realmente cumpre a equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda em uma dimensão. Ela geralmente é escrita assim:
Essa equação relaciona as derivadas segundas da função
em relação ao tempo
e ao espaço
. Nosso objetivo é verificar se, ao substituir
nessa equação, ela é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
e
. Como
, usando a regra da cadeia, temos:
Para a derivada em relação a
:
Para a derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas segundas de
em relação a
e
.
Derivada segunda em relação a
:
Derivada segunda em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas segundas, vamos substituir na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
Escrevemos a equação:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Vemos que os dois lados da equação são iguais, o que confirma que a função
realmente satisfaz a equação de onda em uma dimensão.
Resposta
A função
satisfaz a equação de onda em uma dimensão.