Mostre que xi=f(x pm v t) satisfaz a equação de onda em 1 dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que a função xi = f(x pm v t) satisfaz a equação de onda em uma dimensão. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e funções de onda, que são conceitos importantes em física, especialmente em mecânica e ondas. Vamos precisar usar derivadas para mostrar que a função dada realmente cumpre a equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda em uma dimensão. Ela geralmente é escrita assim:
partial^2 xipartial t^2 = v^2 partial^2 xipartial x^2
Essa equação relaciona as derivadas segundas da função xi em relação ao tempo t e ao espaço x. Nosso objetivo é verificar se, ao substituir xi = f(x pm v t) nessa equação, ela é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de xi em relação a x e t. Como xi = f(x pm v t), usando a regra da cadeia, temos:
Para a derivada em relação a x:
partial xipartial x = f'(x pm v t) cdot 1 = f'(x pm v t)
Para a derivada em relação a t:
partial xipartial t = f'(x pm v t) cdot (pm v) = pm v f'(x pm v t)

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas segundas de xi em relação a x e t.
Derivada segunda em relação a x:
partial^2 xipartial x^2 = partialpartial x ( f'(x pm v t) ) = f''(x pm v t)
Derivada segunda em relação a t:
partial^2 xipartial t^2 = partialpartial t ( pm v f'(x pm v t) ) = pm v cdot f''(x pm v t) cdot (pm v) = v^2 f''(x pm v t)

Passo 5

Agora que temos as derivadas segundas, vamos substituir na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
Escrevemos a equação:
partial^2 xipartial t^2 = v^2 partial^2 xipartial x^2
Substituindo as derivadas que encontramos:
v^2 f''(x pm v t) = v^2 f''(x pm v t)
Vemos que os dois lados da equação são iguais, o que confirma que a função xi = f(x pm v t) realmente satisfaz a equação de onda em uma dimensão.

Resposta

A função xi = f(x pm v t) satisfaz a equação de onda em uma dimensão.

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