Considere um elemento de fluido na forma de um disco de espessura
, com faces de área
, e situado a uma altura
acima de um nível de referência
. Suponha que o fluido esteja em repouso. Obtenha a equação que fornece a variação de pressão entre dois pontos no interior do fluido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar como a pressão varia entre dois pontos dentro de um fluido que está parado. Estamos trabalhando com hidrostática, que é a parte da física que estuda fluidos em repouso. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, pressão e equilíbrio dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o elemento fluido como um disco com espessura
e área
, situado a uma altura
acima de um nível de referência onde
. Como o fluido está em repouso, as forças que atuam sobre esse disco devem equilibrar.
Passo 3
As forças que atuam sobre o disco são:
- A força para cima devido à pressão na parte de cima do disco:
. - A força para baixo devido à pressão na parte de baixo do disco:
. - A força para baixo devido ao peso do próprio disco, que é o peso do fluido:
, onde é a densidade do fluido e é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Como o fluido está em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por
:
Passo 6
Rearranjando a equação, temos:
Passo 7
Tomando o limite quando
tende a zero, obtemos a derivada da pressão em relação a
:
Resposta
A variação da pressão com a altura é dada por: