Considere um elemento de fluido na forma de um disco de espessura dy, com faces de área A, e situado a uma altura y acima de um nível de referência y=0. Suponha que o fluido esteja em repouso. Obtenha a equação que fornece a variação de pressão entre dois pontos no interior do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar como a pressão varia entre dois pontos dentro de um fluido que está parado. Estamos trabalhando com hidrostática, que é a parte da física que estuda fluidos em repouso. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, pressão e equilíbrio dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o elemento fluido como um disco com espessura dy e área A, situado a uma altura y acima de um nível de referência onde y=0. Como o fluido está em repouso, as forças que atuam sobre esse disco devem equilibrar.

Passo 3

As forças que atuam sobre o disco são:
  1. A força para cima devido à pressão na parte de cima do disco: P(y) cdot A.
  2. A força para baixo devido à pressão na parte de baixo do disco: P(y + dy) cdot A.
  3. A força para baixo devido ao peso do próprio disco, que é o peso do fluido: rho cdot g cdot A cdot dy, onde rho é a densidade do fluido e g é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Como o fluido está em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero:
P(y) cdot A - P(y + dy) cdot A - rho cdot g cdot A cdot dy = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por A:
P(y) - P(y + dy) - rho cdot g cdot dy = 0

Passo 6

Rearranjando a equação, temos:
P(y + dy) - P(y) = -rho cdot g cdot dy

Passo 7

Tomando o limite quando dy tende a zero, obtemos a derivada da pressão em relação a y:
dPdy = -rho cdot g

Resposta

A variação da pressão com a altura é dada por:
dPdy = -rho cdot g

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