Um par de engrenagens retas deve transmitir potência de 3 kW a 1.000 rpm pela engrenagem motora de 25 dentes e módulo \mathrm{m}=3 \mathrm{~mm}.
a) Determine o diâmetro primitivo da engrenagem motora.
b) Calcule a força tangencial atuante sobre os dentes do pinhão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Potência transmitida: P=3\\ \text{kW}.
  • Velocidade de rotação da engrenagem motora: n=1000\\ \text{rpm}.
  • Número de dentes da engrenagem motora: z=25.
  • Módulo: m=3\\ \text{mm}.
O enunciado pede:
a) Determinar o diâmetro primitivo (diâmetro de passo) da engrenagem motora.
b) Calcular a força tangencial atuante sobre os dentes do pinhão (força de implementação sobre o círculo primitivo).

Passo 2

Entendimento da fórmula para o diâmetro primitivo e aplicação direta.
  • Conceito rápido: o módulo m relaciona o passo circular ao número de dentes; o diâmetro primitivo d de uma engrenagem é dado por
d = m\,z,
onde:
  • d é o diâmetro primitivo (unidade do módulo),
  • m é o módulo,
  • z é o número de dentes.
Aplicando com as unidades consistentes: m=3\\ \text{mm} e z=25,
d = 3\\ \text{mm}\times 25 = 75\\ \text{mm}.
É conveniente também expressar em metros:
d = 75\\ \text{mm} = 0,075\\ \text{m}.

Passo 3

Calcular o torque transmitido pela engrenagem a partir da potência e da rotação.
  • Fórmula básica de potência em regime rotacional:
P = T\,\omega,
onde:
  • P é a potência (em watts),
  • T é o torque (em newton-metro),
  • \omega é a velocidade angular (em rad/s).
  • Relação entre velocidade angular e rotação:
\omega = 2\pi\frac{n}{60},
onde n é em rpm.
Primeiro converto a potência para SI: P=3\\ \text{kW}=3000\\ \text{W}. Depois calculo \omega:
\omega = 2\pi\frac{1000}{60} = \frac{2000\pi}{60} = \frac{100\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 104,72\\ \text{rad/s}.
Agora o torque:
T = \frac{P}{\omega} = \frac{3000}{104,72}\\ \text{N·m}\approx 28,65\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 4

Relacionar torque com força tangencial e calcular a força.
  • Geometria: o torque T aplicado na roda (pinhão) é causado pela força tangencial F_t atuando ao raio primitivo \tfrac{d}{2}. Logo:
T = F_t\cdot\frac{d}{2}.
Despejando F_t:
F_t = \frac{2T}{d}.
Usando T\approx 28,65\\ \text{N}\cdot\text{m} e d=0,075\\ \text{m},
F_t = \frac{2\cdot 28,65}{0,075}\\ \text{N} \approx \frac{57,30}{0,075}\\ \text{N} \approx 763,94\\ \text{N}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se dizer F_t \approx 764\\ \text{N}.

Passo 5

Resumo e verificação rápida:
  • O diâmetro primitivo foi obtido diretamente por d=mz.
  • A força tangencial foi obtida convertendo potência em torque via P=T\omega e depois usando F_t=2T/d.
    Se desejar, esses passos podem ser reproduzidos rapidamente na prova: calcular \omega, obter T e finalmente F_t.

Resposta

a) d = 75\\ \text{mm} = 0,075\\ \text{m}
b) F_t \approx 764\\ \text{N}

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