Um motor elétrico transmite ao trecho AB do eixo de transmissão ABCE, um torque T através do acoplamento em A. O acoplamento conecta o eixo do motor ao eixo ABCE por meio de 6 parafusos, posicionados a um raio
. As engrenagens em B e C movimentam uma máquina que consome torques
e
, respectivamente. O eixo é vazado e tem
e
. Determinar: (a) o torque máximo que pode ser aplicado ao eixo (b) o diâmetro dos parafusos de modo que transmitam a mesma capacidade de torque que o eixo. Considere:
, o eixo, 0 acoplamento e os parafusos fabricados. com o mesmo material
, despreze o atrito nos mancais e o peso dos elementos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um motor elétrico que transmite um torque $ T $ para o eixo de transmissão ABCE através de um acoplamento em A. Esse acoplamento usa 6 parafusos posicionados a um raio $ R = 75 $ mm. As engrenagens em B e C estão movimentando uma máquina que consome torques $ T_B $ e $ T_C $, respectivamente. O eixo é vazado, com diâmetros externo $ \phi_{externo} = 60 $ mm e interno $ \phi_{interno} = 45 $ mm. Precisamos determinar:
a) O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo.
b) O diâmetro dos parafusos para que eles transmitam a mesma capacidade de torque que o eixo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre o torque em eixos e em parafusos. Vamos precisar aplicar fórmulas que relacionam torque, esforço cortante e dimensões dos componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o torque máximo que o eixo pode suportar sem exceder a tensão admissível do material ($ \tau_{adm} = 200 $ MPa). Para isso, usamos a fórmula do torque em um eixo circular:
Onde:
- $ T $ é o torque,
- $ \tau $ é a tensão cortante admissível,
- $ r $ é o raio do eixo.
Mas como o eixo é vazado, precisamos calcular o torque para um eixo oco:
Onde $ d_{externo} $ e $ d_{interno} $ são os diâmetros externo e interno do eixo, respectivamente.
Passo 3
Vamos substituir os valores dados na fórmula:
Primeiro, convertemos os diâmetros para metros para manter as unidades consistentes:
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos determinar o diâmetro dos parafusos que precisam transmitir o mesmo torque que o eixo. Temos 6 parafusos posicionados a um raio $ R = 75 $ mm. A capacidade de torque de cada parafuso deve ser tal que a soma dos torques de todos os parafusos iguale o torque máximo do eixo.
A fórmula para o torque em um parafuso é:
Onde $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal do parafuso. Para um parafuso circular, $ J = \frac{\pi d^4}{32} $.
Como os 6 parafusos estão a um raio $ R $, o torque total é:
Igualando ao torque do eixo:
Passo 5
Vamos resolver para $ d $:
Primeiro, simplificamos a equação:
Calculando os constantes:
Então:
Dividindo ambos os lados por $ 2.211 \times 10^6 $:
Tomando a raiz quarta:
Mas isso não faz sentido, pois um parafuso de 1,07 m de diâmetro é impraticável. Provavelmente houve um erro nos cálculos de unidades ou na aplicação das fórmulas. Vamos revisar.
Passo 6
Revisando as unidades, percebemos que usamos metros e Munhas MPa, onde $ 1 MPa = 10^6 N/m^2 $.
Corrigindo a equação:
Isolando $ d^4 $:
Calculando o denominador:
Então:
Agora, tirando a raiz quarta:
Isso ainda parece grande para parafusos, indicando que talvez a abordagem inicial precise ser ajustada, possivelmente considerando a tensão de cisalhamento nos parafusos de maneira diferente.
Passo 7
Vamos considerar que o torque transmitido por cada parafuso está relacionado ao esforço cortante. A carga de torque distribuída igualmente aos parafusos é:
Substituindo os valores:
Agora, relacionamos o torque ao esforço cortante no parafuso:
Onde $ J = \frac{\pi d^3}{16} $ para esforço cortante em parafusos.
Rearranjando para $ d $:
Substituindo os valores:
Calculando:
Ainda está muito grande, indicando possivelmente uma abordagem incorreta. Talvez seja melhor considerar a relação direta entre torque e diâmetro para parafusos usando fórmulas específicas para torque em parafusos.
Passo 8
Vamos usar a fórmula para torque em um parafuso considerando o torque de aperto (preparando parafusos):
Onde:
- $ T $ é o torque,
- $ K $ é o coeficiente de atrito (assumido como constante),
- $ F $ é a força axial,
- $ d $ é o diâmetro do parafuso.
No entanto, para transmitir torque por esforço cortante em parafusos, pode ser mais adequado relacionar a força cortante com o torque:
Onde:
- $ R $ é o raio onde o parafuso está posicionado,
- $ F_{cortante} $ é a força cortante no parafuso.
A resistência cortante máxima de um parafuso é:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do parafuso:
Então, substituindo:
Como temos 6 parafusos, o torque total é:
Isolando $ d $:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
(a) O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo é aproximadamente $ 2,916 \times 10^6 $ Nm.
(b) O diâmetro dos parafusos necessário para transmitir a mesma capacidade de torque que o eixo é aproximadamente 64,2 mm.