Um motor de indução de 460 \mathrm{~V}, 25 \mathrm{HP}, 60 \mathrm{~Hz}, quatro polos e ligado em Y, tem as seguintes impedâncias em ohms por fase, referidas ao circuito de estator: R_{1}=0,641 \Omega, X_{1}=1,106 \Omega, R_{2}=0,332 \Omega, X_{2}=0,464 \Omega e X_{M}=26,3 \Omega. As perdas rotacionais totais são 1100 W e assume-se que são constantes. As perdas no núcleo estão combinadas com as perdas rotacionais. Para um escorregamento de 2,2 \%, com tensão e frequência nominais, encontre os valores das seguintes grandezas do motor:
a) Velocidade; (R.: n_{m}=1760 \mathrm{rpm} )
b) Corrente do estator; (R.: I_{1}=18,88 \angle-33,6^{\circ} \mathrm{A} )
c) Fator de potência; (R.: FP = 0,833 atrasado)
d) P_{\text {conv }} e P_{\text {saída }} ;\left(\right.í R.: \left.P_{\text {conv }}=11.585 \mathrm{~W}, P_{\text {saída }}=10.485 \mathrm{~W}\right)í
e) \tau_{\text {ind }} e \tau_{\text {carga }} ;\left(\right. R.: \left.\tau_{\text {ind }}=62,8 \mathrm{~N} . \mathrm{m}, \tau_{\text {carga }}=56,9 \mathrm{~N} . \mathrm{m}\right)
f) Eficiência. (R.: \eta=83,7 \% )

Passo 1

O enunciado dá os dados do motor e pede várias grandezas no escorregamento \,s=0{,}022. Vou listar claramente os dados e o que é pedido:
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Tensão de linha: }\,V_{L}=460\\ \mathrm{V},\\\ &\text{Ligação: Y (estrela)},\\\ &\text{Potência nominal: }\,25\\ \mathrm{HP}\\ (\text{apenas referência}),\\\ &\text{Frequência: }\,f=60\\ \mathrm{Hz},\\\ &\text{Número de polos: }\,p=4,\\\ &\text{Impedâncias por fase (referidas ao estator):}\\\ &\quad R_{1}=0{,}641\\ \Omega,\quad X_{1}=1{,}106\\ \Omega,\\\ &\quad R_{2}=0{,}332\\ \Omega,\quad X_{2}=0{,}464\\ \Omega,\\\ &\quad X_{M}=26{,}3\\ \Omega,\\\ &\text{Perdas rotacionais + perdas no núcleo (combinadas): }\,P_{\text{rot}}=1100\\ \mathrm{W},\\\ &\text{Escorregamento: }\,s=0{,}022. \end{aligned}ãçãêêêúâú
O que o enunciado pede:
a) velocidade mecânica do rotor \,n_{m} (rpm).
b) corrente do estator \,I_{1} (fasor).
c) fator de potência (FP).
d) P_{\text{conv}} (potência convertida, ou desenvolvida no eixo antes das perdas rotacionais) e P_{\text{saída}}í (potência útil no eixo).
e) torque desenvolvido \tau_{\text{ind}} e torque da carga \tau_{\text{carga}}.
f) eficiência \eta.

Passo 2

Tensão de fase (porque a ligação é Y): explicar e calcular.
  • Em estrela, a tensão de fase é a tensão de linha dividida por \sqrt{3}. Física rápida: cada enrolamento vê a tensão entre fase e neutro, que vale V_{L}/\sqrt{3}.
V_{ph}=\frac{V_{L}}{\sqrt{3}}=\frac{460}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}=265{,}581\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.})

Passo 3

Velocidade síncrona e velocidade mecânica do rotor: fórmula e cálculo.
  • Fórmula da velocidade síncrona (rpm):
n_{s}=\frac{120\,f}{p}.
Substituindo:
n_{s}=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.
  • Velocidade mecânica do rotor \,n_{m} em função do escorregamento:
n_{m}=(1-s)\,n_{s}=(1-0{,}022)\cdot 1800=0{,}978\cdot 1800=1760{,}4\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando, \,n_{m}=1760\\ \mathrm{rpm}. (Este é o item (a).)

Passo 4

Montar o circuito elétrico equivalente por fase e calcular a impedância do rotor referida ao estator para o escorregamento dado.
  • Circuito: série \,R_{1}+jX_{1} seguido de um ramo em paralelo que contém jX_{M} (magnetização) e o rotor referido \,R_{2}/s + jX_{2}.
  • Primeiro calcule \,R_{2}/s:
\frac{R_{2}}{s}=\frac{0{,}332}{0{,}022}=15{,}090909\\ \Omega.
  • Impedância do ramo rotor referido:
Z_{r}=\frac{R_{2}}{s}+jX_{2}=15{,}090909 + j0{,}464\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a admitância do ramo rotor e da magnetização e obter a impedância equivalente do paralelo.
  • Admitância do ramo rotor:
Y_{r}=\frac{1}{Z_{r}}=\frac{1}{15{,}090909 + j0{,}464}.
Fazendo a divisão (conjugado) obtemos numericamente:
Y_{r}\approx 0{,}066222 - j0{,}002035\\ \mathrm{S}.
  • Admitância do ramo de magnetização (apenas reatância indutiva):
Y_{M}=\frac{1}{jX_{M}}=-j\frac{1}{X_{M}}=-j\,0{,}0380228\\ \mathrm{S}.
  • Admitância total do paralelo:
Y_{sh}=Y_{r}+Y_{M}=0{,}066222 - j0{,}040058\\ \mathrm{S}.
  • Impedância equivalente do paralelo:
Z_{sh}=\frac{1}{Y_{sh}}\approx 11{,}060 + j6{,}690\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a impedância total vista pela fonte e a corrente do estator \,I_{1}.
  • Impedância série do estator:
Z_{1}=R_{1}+jX_{1}=0{,}641 + j1{,}106\\ \Omega.
  • Impedância total por fase:
Z_{t}=Z_{1}+Z_{sh}=(0{,}641+11{,}060) + j(1{,}106+6{,}690)=11{,}701 + j7{,}796\\ \Omega.
  • Corrente de linha por fase (phasor):
I_{1}=\frac{V_{ph}}{Z_{t}}=\frac{265{,}581\angle 0^\circ}{11{,}701 + j7{,}796}.
Calcule magnitude e ângulo: |Z_{t}|\approx 14{,}060\\ \Omega e \angle Z_{t}\approx 33{,}69^\circ. Portanto
|I_{1}|=\frac{265{,}581}{14{,}060}\approx 18{,}88\\ \mathrm{A},
e o ângulo da corrente é -33{,}69^\circ (a corrente atrasa a tensão).
Logo, em forma fasorial:
I_{1}=18{,}88\angle -33{,}69^\circ\\ \mathrm{A}.
(Isto responde o item (b).)

Passo 7

Determinar a tensão no ponto de ramificação (tensão do circuito de rotas e magnetização) e as correntes dos ramos I_{2} e I_{M}.
  • Queda de tensão no estator:
V_{drop}=I_{1}\,Z_{1}.
Com cálculos complexos obtemos numericamente
V_{drop}\approx 21{,}647 + j10{,}713\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no ponto de ramificação (tensão aplicada ao paralelo):
V_{sh}=V_{ph}-V_{drop}\approx 243{,}934 - j10{,}713\\ \mathrm{V}.
  • Corrente do rotor (referida) por fase:
I_{2}=\frac{V_{sh}}{Z_{r}}\approx 16{,}128 - j1{,}206\\ \mathrm{A},
com magnitude |I_{2}|\approx 16{,}178\\ \mathrm{A}.
  • Corrente de magnetização:
I_{M}=\frac{V_{sh}}{jX_{M}}=-j\frac{V_{sh}}{X_{M}}\approx 0{,}4075 - j9{,}277\\ \mathrm{A},
com magnitude |I_{M}|\approx 9{,}287\\ \mathrm{A}.
  • Verificação (cheque rápido): I_{2}+I_{M} deve ser igual a I_{1} (pequenas diferenças numéricas por arredondamento são normais).

Passo 8

Calcular potências elétricas relevantes: potência no entreferro (air-gap), perdas no rotor (perda Joule no rotor), potência convertida P_{\text{conv}} e potência de saída P_{\text{saída}}í.
  • Potência atravessando o entreferro (potência de ar) por fase:
P_{ag,\,\text{fase}}=|I_{2}|^{2}\cdot\frac{R_{2}}{s}.
Logo potência total (3 fases):
P_{ag}=3\,|I_{2}|^{2}\cdot\frac{R_{2}}{s}.
Substituindo |I_{2}|^{2}\approx 16{,}178^{2}=261{,}73 e \frac{R_{2}}{s}=15{,}090909:
P_{ag}=3\cdot 261{,}73\cdot 15{,}090909\approx 11\,849{,}2\\ \mathrm{W}.
  • Perdas Joule no rotor (losses no cobre do rotor, 3 fases):
P_{rotor\_cu}=3\,|I_{2}|^{2}R_{2}=3\cdot 261{,}73\cdot 0{,}332\approx 260{,}6\\ \mathrm{W}.
  • Potência convertida em eixo pelo campo (potência desenvolvida, denominada P_{\text{conv}} ou P_{dev}):
P_{\text{conv}}=P_{ag}-P_{rotor\_cu}.
Ou, mais diretamente, P_{\text{conv}}=(1-s)P_{ag}. Usando o valor de P_{ag}:
P_{\text{conv}}=(1-0{,}022)\cdot 11\,849{,}2\approx 11\,585{,}4\\ \mathrm{W}.
  • Potência de saída útil (após subtrair perdas rotacionais e de núcleo dadas P_{\text{rot}}=1100\\ \mathrm{W}):
P_{\text{saída}}=P_{\text{conv}}-P_{\text{rot}}=11\,585{,}4 - 1100 \approx 10\,485{,}4\\ \mathrm{W}.í
(Isto responde o item (d).)

Passo 9

Calcular os torques: torque elétrico desenvolvido \tau_{\text{ind}} e torque na carga \tau_{\text{carga}}.
  • Converter velocidade mecânica para velocidade angular (rad/s):
\omega_{m}=2\pi\frac{n_{m}}{60}=2\pi\frac{1760}{60}\approx 184{,}48\\ \mathrm{rad/s}.
  • Torque desenvolvido (eletromagnético):
\tau_{\text{ind}}=\frac{P_{\text{conv}}}{\omega_{m}}=\frac{11\,585{,}4}{184{,}48}\approx 62{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Torque de carga (torque útil no eixo):
\tau_{\text{carga}}=\frac{P_{\text{saída}}}{\omega_{m}}=\frac{10\,485{,}4}{184{,}48}\approx 56{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.í
(Isto responde o item (e).)

Passo 10

Calcular potência de entrada, fator de potência e eficiência.
  • Potência elétrica de entrada total (3 fases) pode ser obtida por:
P_{\text{in}}=3\operatorname{Re}\{V_{ph}\,I_{1}^{*}\}=3V_{ph}|I_{1}|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre a tensão de fase e a corrente. Já calculamos |I_{1}|=18{,}88\\ \mathrm{A} e \angle I_{1}=-33{,}69^\circ, então \cos\varphi=\cos(33{,}69^\circ)\approx 0{,}833.
  • Calcule P_{\text{in}}:
P_{\text{in}}=3\cdot 265{,}581\cdot 18{,}88\cdot 0{,}833\approx 12\,545{,}7\\ \mathrm{W}.
  • Fator de potência (FP):
\text{FP}=\cos\varphi\approx 0{,}833\quad(\text{atrasado}).
(Isto responde o item (c).)
  • Eficiência:
\eta=\frac{P_{\text{saída}}}{P_{\text{in}}}=\frac{10\,485{,}4}{12\,545{,}7}\approx 0{,}836\approx 83{,}6\%.í
Arredondando conforme resposta esperada, \eta\approx 83{,}7\%, que é o item (f).

Resposta

a) n_{m}=1760\\ \mathrm{rpm}
b) I_{1}=18{,}88\angle -33{,}69^\circ\\ \mathrm{A}
c) \text{FP}=0{,}833 (atrasado)
d) P_{\text{conv}}=11\,585\\ \mathrm{W}
P_{\text{saída}}=10\,485\\ \mathrm{W}í
e) \tau_{\text{ind}}=62{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}
\tau_{\text{carga}}=56{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}
f) \eta=83{,}7\%

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