Os seguintes dados foram obtidos de ensaios com um motor de indução de 7,5 \mathrm{HP}, quatro polos, 208 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz} e ligado em Y, cuja corrente nominal é 28 A :
Ensaio CC: V_{C C}=13,6 \mathrm{~V}, I_{C C}=28 \mathrm{~A}.
Ensaio a vazio: V_{T}=208 \mathrm{~V}, I_{A}=8,12 \mathrm{~A}, I_{B}=8,2 \mathrm{~A}, I_{C}=8,18 \mathrm{~A}, f=60 \mathrm{~Hz}, P_{\text {entrada }}=420 \mathrm{~W}.
Ensaio de rotor bloqueado: V_{T}=25 \mathrm{~V}, I_{A}=28,1 \mathrm{~A}, I_{B}=28 \mathrm{~A}, I_{C}=27,6 \mathrm{~A}, f= 15 \mathrm{~Hz}, P_{\text {entrada }}=920 \mathrm{~W}.
Pede-se:
Construa o circuito equivalente por fase desse motor.

Passo 1

Enunciado resumido (o que pedem) e dados fornecidos:
\text{Pede-se: construir o circuito equivalente por fase do motor.}
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Motor: }7{,}5\\ \mathrm{HP},\;4\\ \text{pólos},\;208\\ \mathrm{V},\;60\\ \mathrm{Hz},\;\text{ligado em Y},\;I_{\text{nom}}=28\\ \mathrm{A}.\\[4pt] &\text{Ensaio CC: }V_{CC}=13{,}6\\ \mathrm{V},\;I_{CC}=28\\ \mathrm{A}.\\[4pt] &\text{Ensaio a vazio: }V_T=208\\ \mathrm{V},\;I_A=8{,}12\\ \mathrm{A},\;I_B=8{,}20\\ \mathrm{A},\;I_C=8{,}18\\ \mathrm{A},\\\ &\qquad f=60\\ \mathrm{Hz},\;P_{\text{entrada}}=420\\ \mathrm{W}.\\[4pt] &\text{Ensaio rotor bloqueado: }V_T=25\\ \mathrm{V},\;I_A=28{,}1\\ \mathrm{A},\;I_B=28\\ \mathrm{A},\;I_C=27{,}6\\ \mathrm{A},\\\ &\qquad f=15\\ \mathrm{Hz},\;P_{\text{entrada}}=920\\ \mathrm{W}. \end{aligned}ó
Observações importantes que usaremos na resolução (sem resolver ainda):
  • O motor está ligado em Y, então a tensão de fase é \displaystyle V_{1}=\dfrac{V_T}{\sqrt{3}}.
  • O ensaio CC fornece a resistência elétrica dos enrolamentos (teste DC entre terminais de linha mostra duas fases em série num sistema Y).
  • No ensaio a vazio vamos obter a corrente de magnetização e separar perda core/mech dos perdas ôhmicas do estator.
  • No ensaio rotor bloqueado (com frequência reduzida 15\\ \mathrm{Hz}) obtemos a resistência equivalente em série e a reatância de fuga medida a 15\\ \mathrm{Hz}; será necessário escalá-la para 60\\ \mathrm{Hz}.
  • O objetivo final é obter os parâmetros do circuito por fase: R_1,\;X_1,\;R'_2,\;X'_2,\;R_c,\;X_m (ou ao menos X_1+X'_2 se não houver informação suficiente para separar X_1 e X'_2).]

Passo 2

Cálculo da resistência do enrolamento do estator por fase a partir do ensaio CC.
Raciocínio e fórmula:
  • O ensaio CC foi feito aplicando a tensão DC entre dois terminais de linha (dados típicos). Em ligação Y, entre duas fases há duas resistências de fase em série. Assim a resistência medida é 2R_1.
  • Portanto
R_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{V_{CC}}{I_{CC}}.
Cálculo numérico:
\frac{V_{CC}}{I_{CC}}=\frac{13{,}6}{28}=0{,}485714\\ \Omega,
R_1=\frac{0{,}485714}{2}=0{,}242857\\ \Omega.
Interpretação: \displaystyle R_1\approx 0{,}24286\\ \Omega é a resistência ôhmica por fase do enrolamento do estator (valor que será usado nos próximos passos).

Passo 3

Análise do ensaio a vazio para obter R_c (resistência de perdas de núcleo e perdas mecânicas equivalentes por fase) e X_m (reatância de magnetização).
Primeiro, calcular tensões, correntes e potências por fase:
  • Tensão de fase (Y):
V_1=\frac{V_T}{\sqrt{3}}=\frac{208}{\sqrt{3}}=120{,}083\\ \mathrm{V}\\ \text{(aprox.)}.
  • Corrente de fase a vazio: média das três fases
I_0=\frac{8{,}12+8{,}20+8{,}18}{3}=8{,}1667\\ \mathrm{A}.
  • Potência por fase:
P_{\text{ph,0}}=\frac{P_{\text{entrada}}}{3}=\frac{420}{3}=140\\ \mathrm{W}.
Agora, separar perdas ôhmicas do estator (que aparecem na medida) das perdas do núcleo e mecânicas:
  • Perda ôhmica por fase no estator em vazio:
P_{\text{cu1,0}}=I_0^2 R_1.
Cálculo:
I_0^2=(8{,}1667)^2=66{,}7222,
P_{\text{cu1,0}}=66{,}7222\times 0{,}242857=16{,}1905\\ \mathrm{W}.
  • Portanto a potência atribuível às perdas de núcleo + mecânicas (representadas por R_c) por fase é:
P_c = P_{\text{ph,0}}-P_{\text{cu1,0}}=140-16{,}1905=123{,}8095\\ \mathrm{W}.
Esse P_c é a potência dissipada na ramificação de perdas (resistor R_c) que fica em paralelo com jX_m.
Agora obtemos as correntes componentes:
  • Componente resistiva (corrente de perdas do núcleo) por fase:
I_c=\frac{P_c}{V_1}=\frac{123{,}8095}{120{,}083}=1{,}03123\\ \mathrm{A}.
  • Componente magnetizante (reativa) por fase:
I_m=\sqrt{I_0^2-I_c^2}=\sqrt{(8{,}1667)^2-(1{,}03123)^2}=8{,}10054\\ \mathrm{A}.
Finalmente, os elementos do ramo de magnetização são:
R_c=\frac{V_1}{I_c}=\frac{120{,}083}{1{,}03123}=116{,}426\\ \Omega,
X_m=\frac{V_1}{I_m}=\frac{120{,}083}{8{,}10054}=14{,}8259\\ \Omega.
Arredondando de forma prática:
R_c\approx 116{,}43\\ \Omega,\qquad X_m\approx 14{,}826\\ \Omega.
Comentário didático: a razão de subtrair a perda ôhmica do estator antes de calcular R_c é que a potência medida no ensaio a vazio inclui também Joule no enrolamento do estator; queremos que R_c represente só perdas no núcleo e mecânicas (perdas que dependem da magnetização), por isso subtraímos I_0^2R_1.

Passo 4

Análise do ensaio rotor bloqueado (locked-rotor) para obter R'_2 (referido ao estator) e a reatância de fuga combinada X_1+X'_2 à frequência de operação ( 60\\ \mathrm{Hz}).
Dados do ensaio: V_T=25\\ \mathrm{V} (linha), f_{\text{lr}}=15\\ \mathrm{Hz}, P_{\text{entrada}}=920\\ \mathrm{W}.
Primeiro, calcular valores por fase no ensaio:
  • Tensão de fase durante o teste:
V_{1,\text{lr}}=\frac{25}{\sqrt{3}}=14{,}4338\\ \mathrm{V}.
  • Corrente média por fase:
I_{\text{lr}}=\frac{28{,}1+28+27{,}6}{3}=27{,}9\\ \mathrm{A}.
  • Potência por fase no rotor bloqueado:
P_{\text{ph,lr}}=\frac{920}{3}=306{,}6667\\ \mathrm{W}.
Agora a resistência equivalente por fase em regime bloqueado (s=1) é obtida por:
R_{\text{eq}}=\frac{P_{\text{ph,lr}}}{I_{\text{lr}}^2}.
Cálculo:
I_{\text{lr}}^2=27{,}9^2=778{,}41,
R_{\text{eq}}=\frac{306{,}6667}{778{,}41}=0{,}39396\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Essa resistência equivalente é a soma das resistências série por fase quando o rotor está bloqueado:
R_{\text{eq}}=R_1+R'_2.
Logo
R'_2 = R_{\text{eq}}-R_1=0{,}39396-0{,}242857=0{,}15110\\ \Omega.
Agora obter a reatância equivalente medida no teste (essa reatância está à frequência de 15\\ \mathrm{Hz}):
  • Impedância por fase medida:
Z_{\text{lr}}=\frac{V_{1,\text{lr}}}{I_{\text{lr}}}=\frac{14{,}4338}{27{,}9}=0{,}51735\\ \Omega.
  • Reatância equivalente na frequência de teste 15\\ \mathrm{Hz}:
X_{\text{eq},15}=\sqrt{Z_{\text{lr}}^2 - R_{\text{eq}}^2} =\sqrt{(0{,}51735)^2-(0{,}39396)^2}=0{,}33533\\ \Omega.
Como a reatância escala proporcionalmente com a frequência (reatância X\propto f), para obter a reatância equivalente na frequência nominal 60\\ \mathrm{Hz} multiplicamos por \dfrac{60}{15}=4:
X_{\text{eq},60}=4\cdot X_{\text{eq},15}=4\cdot 0{,}33533=1{,}34133\\ \Omega.
Essa reatância de 1{,}34133\\ \Omega é a soma das reatâncias de fuga de estator e rotor referidas ao estator:
X_{\text{eq},60}=X_1+X'_2.
Observação sobre divisão entre X_1 e X'_2:
  • O ensaio bloqueado dá apenas a soma X_1+X'_2. Sem ensaios adicionais (por exemplo ensaio de curto-circuito diferencial) não podemos determinar X_1 e X'_2 separadamente com certeza.
  • Uma prática comum quando falta informação é assumir que as reatâncias de fuga são aproximadamente iguais: X_1\approx X'_2=\tfrac{1}{2}(X_1+X'_2). Adotarei essa hipótese para apresentar um circuito completo numérico (vou explicitar que é uma suposição).
Com essa hipótese:
X_1\approx X'_2\approx \frac{1{,}34133}{2}=0{,}67067\\ \Omega.

Passo 5

Compilação final do circuito equivalente por fase (descrição e interpretação):
Topologia (modelo padrão por fase, versão “com ramo de magnetização em paralelo”):
  • Fonte de fase V_1=\dfrac{208}{\sqrt{3}} alimenta em série: R_1 e jX_1.
  • No nó após R_1+jX_1 há três ramos em paralelo:
    1. R_c (representa perdas de núcleo + mecânicas).
    2. jX_m (reatância de magnetização).
    3. o circuito do rotor referenciado ao estator constituído por R'_2/s em série com jX'_2.
  • Observação: no caso de rotor bloqueado s=1 e o ramo rotor é simplesmente R'_2+jX'_2; para operação geral o termo ôhmico torna-se R'_2/s.
Parâmetros numéricos obtidos (com a suposição de divisão igual das reatâncias de fuga, explicada acima):
\begin{aligned} &R_1=0{,}242857\\ \Omega,\\[4pt] &R_c=116{,}426\\ \Omega,\\[4pt] &X_m=14{,}8259\\ \Omega,\\[4pt] &R'_2=0{,}15110\\ \Omega\\ (\text{referido ao estator}),\\[4pt] &X_1+X'_2=1{,}34133\\ \Omega\\ \text{(total de fuga a }60\\ \mathrm{Hz}),\\[4pt] \text{(assumindo }X_1=X'_2\text{):}&\quad X_1\approx X'_2\approx 0{,}67067\\ \Omega. \end{aligned}
Interpretação prática: com esses valores você pode montar o circuito por fase num software de análise de circuitos ou calcular características do motor (correntes, torque aproximado, etc.). Lembre-se que R_c e X_m foram estimados a partir do ensaio a vazio (60 Hz) e X_1+X'_2 foi escalado do ensaio bloqueado a 15 Hz para 60 Hz; a divisão entre X_1 e X'_2 é uma suposição comum quando não se tem informação adicional.]

Resposta

R_1=0{,}242857\\ \Omega.\n
R_c=116{,}426\\ \Omega.\n
X_m=14{,}8259\\ \Omega.\n
R'_2=0{,}15110\\ \Omega (referido ao estator, obtido do ensaio bloqueado).\n
X_1+X'_2=1{,}34133\\ \Omega (reatância de fuga total a 60\\ \mathrm{Hz}).\n
(se assumir X_1=X'_2) X_1\approx X'_2\approx 0{,}67067\\ \Omega.

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