Um motor é montado sobre uma plataforma e o sistema está vibrando excessivamente quando em operação a 6000 rpm , produzindo uma força de 250[\mathrm{~N}]. Projete um absorvedor de vibrações para colocar na plataforma. Apenas observe que, devido questões geométricas de construção, o absorvedor pode mover no máximo 2[\mathrm{~mm}].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um projeto do absorvedor:
  • Força harmônica gerada pelo motor: \,250\,[\mathrm{N}].
  • Velocidade de rotação do motor: \,6000\,[\mathrm{rpm}].
  • Curso máximo admissível do absorvedor (deslocamento máximo): \,2\,[\mathrm{mm}].
  • Pedido do problema: projetar um absorvedor de vibrações para colocar na plataforma. Vou interpretar isso como determinar a rigidez da mola do absorvedor e a massa do corpo móvel do absorvedor, de modo que o absorvedor seja sintonizado com a excitação (frequência do motor) e respeite o limite de deslocamento máximo \,2\,[\mathrm{mm}].

Passo 2

Primeiro converto a rotação em frequência de excitação (em hertz), porque o absorvedor deve ser sintonizado com essa frequência. A relação é:
f = \frac{\text{rpm}}{60}.
Substituindo:
f = \frac{6000}{60}=100\,[\mathrm{Hz}].
Portanto a força é aplicada com frequência \,100\,[\mathrm{Hz}].

Passo 3

Explico o princípio físico que vou usar (passo-a-passo e com calma): o absorvedor é, na forma mais simples, uma massa m ligada a uma mola de rigidez k. A mola limita o deslocamento segundo a Lei de Hooke:
F = k\,x,
onde F é a força aplicada na mola, k é a rigidez (em \mathrm{N/m}) e x é o deslocamento (em \mathrm{m}). Aqui temos um limite para o deslocamento: \,x_{\max}=2\,[\mathrm{mm}]=0{,}002\,[\mathrm{m}]. Se quisermos garantir que a mola nunca seja solicitada a deslocar mais do que isso sob a força de \,250\,[\mathrm{N}], uma escolha imediata para k é:
k = \frac{F}{x_{\max}}.
Isto é direto e seguro: a mola com essa rigidez suportará 250\,[\mathrm{N}] sem ultrapassar \,2\,[\mathrm{mm}].

Passo 4

Calculo numérico da rigidez usando a fórmula anterior:
k = \frac{250}{0{,}002}=125000\,[\mathrm{N/m}].
Posso também escrever em notação científica:
k = 1{,}25\times 10^{5}\,[\mathrm{N/m}].

Passo 5

Agora vamos sintonizar a massa do absorvedor para que sua frequência natural coincida com a frequência de excitação \,f=100\,[\mathrm{Hz}]. A frequência natural de um oscilador massa-mola (sem amortecimento significativo) é dada por:
f_n=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},
onde f_n é a frequência natural em \mathrm{Hz}, k é a rigidez em \mathrm{N/m} e m é a massa em \mathrm{kg}. Vou igualar f_n à frequência de excitação f e resolver para m.

Passo 6

Isolo m na equação de sintonia. Começo por escrever:
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Multiplicando ambos os lados por 2\pi e elevando ao quadrado:
(2\pi f)^2 = \frac{k}{m}.
Daí:
m = \frac{k}{(2\pi f)^2}.
Nesta expressão, k já foi obtida no Passo 4 e f=100\,[\mathrm{Hz}].

Passo 7

Calculo da massa com valores numéricos. Primeiro a pulsação:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 100 = 200\pi \approx 628{,}319\,[\mathrm{rad/s}].
Agora:
\omega^2 \approx 628{,}319^2 \approx 3{,}94784\times 10^{5}\,.
Usando k=1{,}25\times 10^{5}\,[\mathrm{N/m}],
m = \frac{1{,}25\times 10^{5}}{3{,}94784\times 10^{5}} \approx 0{,}3169\,[\mathrm{kg}].
Arredondando de forma compatível com projeto prático:
m \approx 0{,}317\,[\mathrm{kg}].

Passo 8

Verificação rápida (checada na ponta do lápis): com k=1{,}25\times 10^{5}\,[\mathrm{N/m}] e m=0{,}317\,[\mathrm{kg}],
f_n=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1{,}25\times 10^{5}}{0{,}317}}\approx 100\,[\mathrm{Hz}],
ou seja, está sintonizado com a excitação. E a rigidez escolhida garante que sob 250\,[\mathrm{N}] o deslocamento será exatamente
x=\frac{F}{k}=\frac{250}{1{,}25\times 10^{5}}=0{,}002\,[\mathrm{m}]=2\,[\mathrm{mm}],
respeitando o limite geométrico imposto.

Passo 9

Observações práticas e recomendações (curtas e úteis):
  • O cálculo acima assume um absorvedor massa-mola ideal (amortecimento pequeno ou desprezível). Na prática costuma-se adicionar um pouco de amortecimento para evitar picos excessivos e para alargar ligeiramente a banda de absorção.
  • Se houver informação sobre a massa equivalente da plataforma (massa primária), poderíamos escolher a massa do absorvedor como uma fração conveniente (por exemplo 1\% a 10\% da massa primária) e então calcular k a partir de m e f. Aqui fiz o caminho inverso porque o enunciado deu o limite de curso.
  • O valor de massa obtido ( \approx 0{,}317\,[\mathrm{kg}]) é pequeno e prático para um absorvedor localizado (uma pequena massa com mola rígida). Se quiser, podemos ajustar para uma massa comercial padrão e recalcular k.

Resposta

k = 1{,}25\times 10^{5}\,[\mathrm{N/m}]
m = 0{,}317\,[\mathrm{kg}]

Exercícios relacionados