Um motor é montado sobre uma plataforma e o sistema está vibrando excessivamente quando em operação a 6000 rpm , produzindo uma força de
. Projete um absorvedor de vibrações para colocar na plataforma. Apenas observe que, devido questões geométricas de construção, o absorvedor pode mover no máximo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um projeto do absorvedor:
- Força harmônica gerada pelo motor:
. - Velocidade de rotação do motor:
. - Curso máximo admissível do absorvedor (deslocamento máximo):
. - Pedido do problema: projetar um absorvedor de vibrações para colocar na plataforma. Vou interpretar isso como determinar a rigidez da mola do absorvedor e a massa do corpo móvel do absorvedor, de modo que o absorvedor seja sintonizado com a excitação (frequência do motor) e respeite o limite de deslocamento máximo
.
Passo 2
Primeiro converto a rotação em frequência de excitação (em hertz), porque o absorvedor deve ser sintonizado com essa frequência. A relação é:
Substituindo:
Portanto a força é aplicada com frequência
.
Passo 3
Explico o princípio físico que vou usar (passo-a-passo e com calma): o absorvedor é, na forma mais simples, uma massa
ligada a uma mola de rigidez
. A mola limita o deslocamento segundo a Lei de Hooke:
onde
é a força aplicada na mola,
é a rigidez (em
) e
é o deslocamento (em
). Aqui temos um limite para o deslocamento:
. Se quisermos garantir que a mola nunca seja solicitada a deslocar mais do que isso sob a força de
, uma escolha imediata para
é:
Isto é direto e seguro: a mola com essa rigidez suportará
sem ultrapassar
.
Passo 4
Calculo numérico da rigidez usando a fórmula anterior:
Posso também escrever em notação científica:
Passo 5
Agora vamos sintonizar a massa do absorvedor para que sua frequência natural coincida com a frequência de excitação
. A frequência natural de um oscilador massa-mola (sem amortecimento significativo) é dada por:
onde
é a frequência natural em
,
é a rigidez em
e
é a massa em
. Vou igualar
à frequência de excitação
e resolver para
.
Passo 6
Isolo
na equação de sintonia. Começo por escrever:
Multiplicando ambos os lados por
e elevando ao quadrado:
Daí:
Nesta expressão,
já foi obtida no Passo 4 e
.
Passo 7
Calculo da massa com valores numéricos. Primeiro a pulsação:
Agora:
Usando
,
Arredondando de forma compatível com projeto prático:
Passo 8
Verificação rápida (checada na ponta do lápis): com
e
,
ou seja, está sintonizado com a excitação. E a rigidez escolhida garante que sob
o deslocamento será exatamente
respeitando o limite geométrico imposto.
Passo 9
Observações práticas e recomendações (curtas e úteis):
- O cálculo acima assume um absorvedor massa-mola ideal (amortecimento pequeno ou desprezível). Na prática costuma-se adicionar um pouco de amortecimento para evitar picos excessivos e para alargar ligeiramente a banda de absorção.
- Se houver informação sobre a massa equivalente da plataforma (massa primária), poderíamos escolher a massa do absorvedor como uma fração conveniente (por exemplo
a da massa primária) e então calcular a partir de e . Aqui fiz o caminho inverso porque o enunciado deu o limite de curso. - O valor de massa obtido (
) é pequeno e prático para um absorvedor localizado (uma pequena massa com mola rígida). Se quiser, podemos ajustar para uma massa comercial padrão e recalcular .