Questāo (3,0 pontos) -
Um eixo maciço de aço ( \mathrm{G}=77 \mathrm{GPa} ) de 20 mm de diâmetro, gira com uma velocidade angular de 200 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determine a máxima potência que o eixo pode transmitir, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissivel é de 50 MPa e que o ângulo máximo de torção não deve exceder a 5^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede a máxima potência que o eixo pode transmitir, dadas duas limitações: (1) tensão de cisalhamento admissível e (2) ângulo máximo de torção. Dados fornecidos:
G=77\\ \text{GPa},\quad d=20\\ \text{mm},\quad \omega=200\\ \text{rad/s},
\tau_{\text{adm}}=50\\ \text{MPa},\quad \theta_{\max}=5^\circ.
Observações e suposições (necessárias porque o enunciado não dá comprimento do eixo): a fórmula do ângulo de torção é \theta = \dfrac{T\,L}{GJ}, que depende do comprimento L. Como L não foi fornecido, vou assumir o comprimento L=1\\ \text{m} (hipótese usual em exercícios quando se pede limite por torção sem outro dado). Se você tiver outro valor de L, é só me dizer que eu refaço os cálculos rápidos.

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas importantes e explicar cada termo (aqui é a “aula” rápida para a prova):
  1. Polar momento de inércia para uma seção circular maciça:
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro da seção e J tem unidade \text{m}^4. Essa fórmula é usada porque, em torção, a distribuição de tensões depende da geometria circular através de J.
  1. Tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo (em um eixo circular):
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde T é o torque (momento torçor), c é o raio externo ( c=d/2) e J é o polar momento. Essa relação vem da teoria da torção para seções circulares.
  1. Ângulo de torção de um eixo cilíndrico homogêneo:
\theta=\frac{T\,L}{GJ},
onde L é o comprimento do eixo, G o módulo de cisalhamento (rigidez) e J o polar momento. Aqui \theta deve estar em radianos.
  1. Potência transmitida por um eixo rotativo:
P=T\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular (em \text{rad/s}) e P fica em watts se T estiver em N·m.

Passo 3

Conversões e cálculo de J (faça isso passo a passo na prova):
d=20\\ \text{mm}=0{,}02\\ \text{m},\quad c=\frac{d}{2}=0{,}01\\ \text{m}.
Calcule J:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi (0{,}02)^{4}}{32}.
Agora as contas:
(0{,}02)^{2}=0{,}0004,\quad (0{,}02)^{4}=(0{,}0004)^{2}=1{,}6\times10^{-7}.
J=\frac{\pi\cdot 1{,}6\times10^{-7}}{32}=\pi\cdot 5{,}0\times10^{-9}\approx 1{,}5708\times10^{-8}\\ \text{m}^{4}.

Passo 4

Torque máximo imposto pela tensão admissível (usar \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J} e isolar T):
T_{\tau}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Substituindo números (lembre-se das unidades):
\tau_{\text{adm}}=50\\ \text{MPa}=50\times10^{6}\\ \text{Pa},\quad J\approx 1{,}5708\times10^{-8}\\ \text{m}^{4},\quad c=0{,}01\\ \text{m}.
Cálculo:
T_{\tau}=\frac{50\times10^{6}\times 1{,}5708\times10^{-8}}{0{,}01}.
Multiplicando numeradores:
50\times10^{6}\times 1{,}5708\times10^{-8}=50\times 1{,}5708\times10^{-2}=78{,}5398.
Dividindo por 0{,}01:
T_{\tau}\approx 78{,}5398\\ \text{N·m}.

Passo 5

Torque máximo imposto pelo ângulo de torção (usar \theta=\dfrac{T\,L}{GJ} e isolar T):
T_{\theta}=\frac{\theta\,GJ}{L}.
Primeiro converta \theta para radianos:
\theta_{\max}=5^\circ=5\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{36}\\ \text{rad}\approx 0{,}0872665\\ \text{rad}.
Use G=77\\ \text{GPa}=77\times10^{9}\\ \text{Pa}, J do passo anterior e L=1\\ \text{m} (hipótese):
T_{\theta}=\frac{0{,}0872665\times 77\times10^{9}\times 1{,}5708\times10^{-8}}{1}.
Calcule em partes:
77\times10^{9}\times 1{,}5708\times10^{-8}=77\times 1{,}5708\times10^{1}\approx 1209{,}516.
Multiplicando por \theta:
T_{\theta}\approx 0{,}0872665\times 1209{,}516\approx 105{,}55\\ \text{N·m}.

Passo 6

Comparar os dois limites de torque:
T_{\tau}\approx 78{,}54\\ \text{N·m},\qquad T_{\theta}\approx 105{,}55\\ \text{N·m}.
O torque permitido pela tensão admissível ( T_{\tau}) é menor. Portanto a limitação governante é a tensão de cisalhamento; o torque máximo que o eixo pode realmente aplicar sem romper é
T_{\max}=T_{\tau}\approx 78{,}54\\ \text{N·m}.

Passo 7

Calcular a potência máxima usando P=T_{\max}\,\omega:
P_{\max}=78{,}5398\times 200\\ \text{W}=15{,}70796\times10^{3}\\ \text{W}.
Em unidades mais usuais:
P_{\max}\approx 15{,}7\\ \text{kW}.

Resposta

P_{\max}=15{,}7\\ \text{kW}

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