Questāo (3,0 pontos) -
Um eixo maciço de aço (
) de 20 mm de diâmetro, gira com uma velocidade angular de
. Determine a máxima potência que o eixo pode transmitir, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissivel é de 50 MPa e que o ângulo máximo de torção não deve exceder a
.
Um eixo maciço de aço (
Passo 1
O enunciado pede a máxima potência que o eixo pode transmitir, dadas duas limitações: (1) tensão de cisalhamento admissível e (2) ângulo máximo de torção. Dados fornecidos:
Observações e suposições (necessárias porque o enunciado não dá comprimento do eixo): a fórmula do ângulo de torção é
, que depende do comprimento
. Como
não foi fornecido, vou assumir o comprimento
(hipótese usual em exercícios quando se pede limite por torção sem outro dado). Se você tiver outro valor de
, é só me dizer que eu refaço os cálculos rápidos.
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas importantes e explicar cada termo (aqui é a “aula” rápida para a prova):
- Polar momento de inércia para uma seção circular maciça:
onde
é o diâmetro da seção e
tem unidade
. Essa fórmula é usada porque, em torção, a distribuição de tensões depende da geometria circular através de
.
- Tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo (em um eixo circular):
onde
é o torque (momento torçor),
é o raio externo (
) e
é o polar momento. Essa relação vem da teoria da torção para seções circulares.
- Ângulo de torção de um eixo cilíndrico homogêneo:
onde
é o comprimento do eixo,
o módulo de cisalhamento (rigidez) e
o polar momento. Aqui
deve estar em radianos.
- Potência transmitida por um eixo rotativo:
onde
é a velocidade angular (em
) e
fica em watts se
estiver em N·m.
Passo 3
Conversões e cálculo de
(faça isso passo a passo na prova):
Calcule
:
Agora as contas:
Passo 4
Torque máximo imposto pela tensão admissível (usar
e isolar
):
Substituindo números (lembre-se das unidades):
Cálculo:
Multiplicando numeradores:
Dividindo por
:
Passo 5
Torque máximo imposto pelo ângulo de torção (usar
e isolar
):
Primeiro converta
para radianos:
Use
,
do passo anterior e
(hipótese):
Calcule em partes:
Multiplicando por
:
Passo 6
Comparar os dois limites de torque:
O torque permitido pela tensão admissível (
) é menor. Portanto a limitação governante é a tensão de cisalhamento; o torque máximo que o eixo pode realmente aplicar sem romper é
Passo 7
Calcular a potência máxima usando
:
Em unidades mais usuais: