1. Em um motor PMAC trifásico de 2 polos, a constante de torque é k_{\mathrm{T}}=500 \mathrm{mNm} / \mathrm{A}. Calcule as correntes elétricas de fase se o motor deve produzir um torque de retenção no sentido anti-horário de 5 Nm para impedir que o rotor, que está em um ângulo de \theta_{\mathrm{m}}=-45^{\circ}, gire.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro):
  • Motor: PMAC trifásico de 2 polos.
  • Constante de torque: k_{\mathrm{T}} = 500\\ \mathrm{mNm/A}.
  • Torque desejado (retenção) no sentido anti-horário: T = 5\\ \mathrm{Nm}.
  • Posição do rotor: \theta_{\mathrm{m}} = -45^\circ.
  • Pedido: calcular as correntes elétricas de fase i_a, i_b e i_c que produzam esse torque de retenção.
Observações extraídas do enunciado que usarei depois:
  • “2 polos” implica que o número de pares de polos é p=1, ou seja, o ângulo elétrico \theta_e é igual ao ângulo mecânico \theta_{\mathrm{m}}: \theta_e=\theta_{\mathrm{m}}.
  • A constante de torque está em \mathrm{mNm/A}; vou transformar para \mathrm{Nm/A} para trabalhar com as mesmas unidades do torque pedido.

Passo 2

Entender a relação torque–corrente e escolher a estratégia.
A teoria prática que precisamos (explicação didática):
  • Em controle por orientação de campo (FOC) para motores síncronos com ímã permanente, define-se um referencial dq (girando com o rotor). Nesse referencial:
    • i_d é a componente de corrente no eixo direto (alinhada com o fluxo do rotor).
    • i_q é a componente de corrente no eixo em quadratura (90° defasada), responsável por produzir torque útil.
  • Para motores PMAC sem intenção de controlar fluxo magnético extra, uma escolha comum e eficiente é manter i_d=0 (isso maximiza torque por ampere e simplifica o controle). Então o torque elétrico é proporcional apenas a i_q: T = k_{\mathrm{T}}\, i_q.Aqui T está em \mathrm{Nm}, k_{\mathrm{T}} em \mathrm{Nm/A} e i_q em \mathrm{A}.
Aplicando ao caso:
  • Primeiro converter k_{\mathrm{T}}: k_{\mathrm{T}} = 500\\ \mathrm{mNm/A} = 0,500\\ \mathrm{Nm/A}.
  • Resolver para i_q com i_d=0: i_q = \frac{T}{k_{\mathrm{T}}} = \frac{5}{0,500} = 10\\ \mathrm{A}.
Portanto precisamos de uma corrente i_q=10\\ \mathrm{A} (sinal positivo para torque no sentido definido como positivo — aqui usamos a convenção padrão onde i_q>0 gera torque positivo, ou seja, anti-horário conforme pedido).

Passo 3

Como passar de i_q (referencial dq) para correntes de fase i_a,i_b,i_c.
Explicação/conceito prático:
  • Uma corrente puramente em q (ou seja i_d=0,\; i_q constante no referencial do rotor) corresponde, no referencial abc, a correntes trifásicas senoidais balanceadas cujo espaço-fator está defasado de acordo com o ângulo elétrico do rotor.
  • Uma fórmula conveniente (fácil de aplicar em prova) para obter correntes de fase que representem exatamente i_d=0 e i_q dado é: \begin{aligned} i_a &= i_q \,\sin(\theta_e),\\[4pt] i_b &= i_q \,\sin\bigl(\theta_e - \tfrac{2\pi}{3}\bigr),\\[4pt] i_c &= i_q \,\sin\bigl(\theta_e + \tfrac{2\pi}{3}\bigr). \end{aligned}
Justificativa curta (por que funciona): se substituir essas expressões na definição do Park (componente q) aparece que i_q é recuperado exatamente (a soma de três \sin^2 deslocadas dá 3/2 e o fator \tfrac{2}{3} restaura i_q), e a componente i_d fica zero. Isso é padrão em FOC quando se aplica somente corrente em quadratura.
Lembrete: como o motor tem 2 polos ( p=1), o ângulo elétrico \theta_e é igual ao ângulo mecânico \theta_{\mathrm{m}}. Então usamos \theta_e = -45^\circ.]

Passo 4

Calcular numericamente as correntes de fase usando \theta_e = -45^\circ e i_q = 10\\ \mathrm{A}.
Calcule cada seno:
\sin(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,70710678,
\sin\bigl(-45^\circ -120^\circ\bigr)=\sin(-165^\circ) = -\sin(15^\circ)\approx -0,25881905,
\sin\bigl(-45^\circ +120^\circ\bigr)=\sin(75^\circ)\approx 0,96592583.
Agora multiplicar por i_q=10\\ \mathrm{A}:
\begin{aligned} i_a &= 10\cdot\sin(-45^\circ) = 10\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)= -5\sqrt{2}\\ \mathrm{A}\approx -7,071\\ \mathrm{A},\\[4pt] i_b &= 10\cdot\sin(-165^\circ)\approx 10\cdot(-0,25881905)= -2,588\\ \mathrm{A},\\[4pt] i_c &= 10\cdot\sin(75^\circ)\approx 10\cdot 0,96592583= 9,659\\ \mathrm{A}. \end{aligned}
Verificação rápida: i_a+i_b+i_c\approx -7,071-2,588+9,659=0 (correntes balanceadas, soma nula) e a componente q resultante vale 10\\ \mathrm{A}, portanto produz o torque desejado.]

Passo 5

Interpretação e checagens finais (motivação para prova):
  • Obtivemos i_q=10\\ \mathrm{A}. Isso é direto da lei T=k_{\mathrm{T}} i_q. Se na prova pedirem justificativa, explique que escolhemos i_d=0 por ser a estratégia usual para torque máximo por ampere.
  • Convertendo a constante k_{\mathrm{T}} para \mathrm{Nm/A} é um passo essencial para não errar unidades.
  • As correntes de fase resultantes são senoidais e balanceadas; os sinais indicam a direção instantânea da corrente em cada fase no ângulo do rotor dado.
  • Sinal do torque: usamos a convenção T = k_{\mathrm{T}} i_q; com i_q>0 obtém-se torque anti-horário, que é o que o enunciado pediu.

Resposta

i_a = -5\sqrt{2}\\ \mathrm{A}\approx -7,071\\ \mathrm{A}
i_b \approx -2,588\\ \mathrm{A}
i_c \approx 9,659\\ \mathrm{A}

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