Em uma máquina CA trifásica, \overline{\boldsymbol{V}}_{a}=120 \sqrt{2} / 0^{\circ} \mathrm{V}. A indutância de magnetização é L_{\mathrm{m}}=75 \mathrm{mH}. Calcule e desenhe os três fasores da corrente elétrica de magnetização. Suponha uma operação em estado estacionário trifásico senoidal balanceado a 60 Hz .
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
Dado: a fasor-tensão de fase A é \overline{V}_{a}=120\sqrt{2}\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
Dado: indutância de magnetização L_{\mathrm{m}}=75\\ \mathrm{mH}=75\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
Dado: frequência f=60\\ \mathrm{Hz}.
Situação: sistema trifásico balanceado (fase a, b, c) em regime estacionário senoidal.
Pedido: calcular os três fasores da corrente de magnetização (as correntes de fase \overline{I}_a,\overline{I}_b,\overline{I}_c) e desenhá-los (ou explicar como desenhá-los).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tensão fornecida está no formato de fasor; usaremos esse mesmo convênio (se for pico, as correntes que calculamos serão picos; se preferir RMS, há conversão por \sqrt{2}).
Em um indutor ideal, a impedância é j\omega L e a corrente de fase é \overline{I}=\dfrac{\overline{V}}{j\omega L}.
Num sistema trifásico balanceado com sequência positiva típica, as tensões de fase são separadas por 120^\circ: \overline{V}_b=\overline{V}_a\angle -120^\circ e \overline{V}_c=\overline{V}_a\angle +120^\circ.
Passo 2
Definir a pulsação angular e a impedância do indutor (aulas rápidas e intuitivas).
A pulsação angular \omega relaciona frequência e ângulo: \omega=2\pi f. Aqui,
\omega=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Impedância de uma indutância L em regime senoidal é
Z_{L}=j\omega L,
onde j é a unidade imaginária (na engenharia elétrica usa-se j em vez de i), \omega é a pulsação e L é a indutância. Essa fórmula vem do fato de que uma tensão senoidal v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) num indutor gera uma corrente i(t) defasada -90^\circ e com amplitude reduzida por \omega L.
Há uma identidade prática com números complexos: \dfrac{1}{j}=-j. Isso significa que dividir por j introduz um atraso de 90^\circ (ou seja, multiplicar por -j corresponde a girar -90^\circ no diagrama de fasores).
Passo 5
Calcular \overline{I}_a passo a passo (magnitude e fase).
Substituindo \overline{V}_a=120\sqrt{2}\angle 0^\circ e Z_m=j9\pi:
Portanto, com os números escolhidos, a magnitude dá precisamente (num valor numérico) \;6{,}0\\ \mathrm{A}. Logo
\overline{I}_a=6\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}.
Didática extra: isso mostra que a corrente do indutor “atrasa” a tensão em 90^\circ. Se o valor de tensão fosse dado em RMS (por exemplo 120\\ \mathrm{V} RMS ao invés de 120\sqrt{2} pico), a corrente RMS correspondente seria 6/\sqrt{2}=3\sqrt{2}\approx 4{,}2426\\ \mathrm{A} RMS. Aqui trabalhamos com o formato fornecido (pico) e obtivemos 6\\ \mathrm{A} pico.
Passo 6
Determinar as correntes das outras fases em sistema trifásico balanceado.
Em sistema balanceado com sequência positiva, as tensões de fase são:
Como a relação corrente/impedância é linear e idêntica em cada fase (mesmo Z_m), as correntes seguem os mesmos deslocamentos de fase que as tensões, porém cada corrente ainda atrasa mais 90^\circ devido à indutância. Assim:
Faça um plano complexo com eixo real (horizontal, componente em fase) e eixo imaginário (vertical, componente em quadratura, positivo para cima).
Desenhe \overline{I}_a como um vetor de módulo 6 apontando para baixo (ângulo -90^\circ).
Desenhe \overline{I}_c como um vetor de módulo 6 com ângulo +30^\circ (ou seja, inclinado 30° acima do eixo real, para a direita).
Desenhe \overline{I}_b como um vetor de módulo 6 com ângulo 150^\circ (inclinado 30° acima do eixo real, para a esquerda).
Verifique que os três vetores são separados por 120^\circ e que suas projeções e componentes coincidem com os valores retangulares acima.
Dica visual: \overline{I}_b e \overline{I}_c têm a mesma componente vertical +3 e componentes horizontais opostas \mp 3\sqrt{3}; \overline{I}_a está puramente vertical para baixo com 6.