Em uma máquina CA trifásica, \overline{\boldsymbol{V}}_{a}=120 \sqrt{2} / 0^{\circ} \mathrm{V}. A indutância de magnetização é L_{\mathrm{m}}=75 \mathrm{mH}. Calcule e desenhe os três fasores da corrente elétrica de magnetização. Suponha uma operação em estado estacionário trifásico senoidal balanceado a 60 Hz .

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Dado: a fasor-tensão de fase A é \overline{V}_{a}=120\sqrt{2}\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Dado: indutância de magnetização L_{\mathrm{m}}=75\\ \mathrm{mH}=75\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
  • Dado: frequência f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Situação: sistema trifásico balanceado (fase a, b, c) em regime estacionário senoidal.
  • Pedido: calcular os três fasores da corrente de magnetização (as correntes de fase \overline{I}_a,\overline{I}_b,\overline{I}_c) e desenhá-los (ou explicar como desenhá-los).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A tensão fornecida está no formato de fasor; usaremos esse mesmo convênio (se for pico, as correntes que calculamos serão picos; se preferir RMS, há conversão por \sqrt{2}).
  • Em um indutor ideal, a impedância é j\omega L e a corrente de fase é \overline{I}=\dfrac{\overline{V}}{j\omega L}.
  • Num sistema trifásico balanceado com sequência positiva típica, as tensões de fase são separadas por 120^\circ: \overline{V}_b=\overline{V}_a\angle -120^\circ e \overline{V}_c=\overline{V}_a\angle +120^\circ.

Passo 2

Definir a pulsação angular e a impedância do indutor (aulas rápidas e intuitivas).
  • A pulsação angular \omega relaciona frequência e ângulo: \omega=2\pi f. Aqui,
\omega=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Impedância de uma indutância L em regime senoidal é
Z_{L}=j\omega L,
onde j é a unidade imaginária (na engenharia elétrica usa-se j em vez de i), \omega é a pulsação e L é a indutância. Essa fórmula vem do fato de que uma tensão senoidal v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) num indutor gera uma corrente i(t) defasada -90^\circ e com amplitude reduzida por \omega L.

Passo 3

Calcular numericamente Z_{m}=j\omega L_{\mathrm{m}}.
  • Substituindo os números:
Z_{m}=j\cdot(120\pi)\cdot(75\times10^{-3})=j\cdot 120\pi\cdot 0,075.
  • Calcule 120\cdot0{,}075=9. Então
Z_{m}=j\cdot 9\pi.
  • Portanto a impedância é
Z_{m}=j\,9\pi\\ \Omega\quad(\text{o que é }j\cdot 9\pi\approx j\cdot 28{,}2743\\ \Omega).é
Comentário didático curto: a magnitude da impedância |Z_m|=\omega L=9\pi e a fase é +90^\circ (porque é puramente indutiva).

Passo 4

Fórmula da corrente de magnetização e manipulação do fator j.
  • A corrente de fase correspondente é
\overline{I}_a=\frac{\overline{V}_a}{Z_{m}}=\frac{\overline{V}_a}{j\omega L_{\mathrm{m}}}.
  • Há uma identidade prática com números complexos: \dfrac{1}{j}=-j. Isso significa que dividir por j introduz um atraso de 90^\circ (ou seja, multiplicar por -j corresponde a girar -90^\circ no diagrama de fasores).

Passo 5

Calcular \overline{I}_a passo a passo (magnitude e fase).
  • Substituindo \overline{V}_a=120\sqrt{2}\angle 0^\circ e Z_m=j9\pi:
\overline{I}_a=\frac{120\sqrt{2}\angle 0^\circ}{j9\pi}.
  • Usando \dfrac{1}{j}=-j, isto é equivalente a:
\overline{I}_a=\frac{120\sqrt{2}}{9\pi}\angle -90^\circ.
  • Calcule a magnitude numérica. Primeiro simplificar:
\frac{120\sqrt{2}}{9\pi}=\frac{40\sqrt{2}}{3\pi}.
Podemos verificar numericamente:
120\sqrt{2}\approx 169{,}7056,\qquad 9\pi\approx 28{,}2743,
\frac{169{,}7056}{28{,}2743}\approx 6{,}0.
  • Portanto, com os números escolhidos, a magnitude dá precisamente (num valor numérico) \;6{,}0\\ \mathrm{A}. Logo
\overline{I}_a=6\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}.
Didática extra: isso mostra que a corrente do indutor “atrasa” a tensão em 90^\circ. Se o valor de tensão fosse dado em RMS (por exemplo 120\\ \mathrm{V} RMS ao invés de 120\sqrt{2} pico), a corrente RMS correspondente seria 6/\sqrt{2}=3\sqrt{2}\approx 4{,}2426\\ \mathrm{A} RMS. Aqui trabalhamos com o formato fornecido (pico) e obtivemos 6\\ \mathrm{A} pico.

Passo 6

Determinar as correntes das outras fases em sistema trifásico balanceado.
  • Em sistema balanceado com sequência positiva, as tensões de fase são:
\overline{V}_b=\overline{V}_a\angle -120^\circ,\qquad \overline{V}_c=\overline{V}_a\angle +120^\circ.
  • Como a relação corrente/impedância é linear e idêntica em cada fase (mesmo Z_m), as correntes seguem os mesmos deslocamentos de fase que as tensões, porém cada corrente ainda atrasa mais 90^\circ devido à indutância. Assim:
\overline{I}_b=\frac{\overline{V}_b}{j\omega L_{\mathrm{m}}}=\frac{\overline{V}_a\angle -120^\circ}{j\omega L_{\mathrm{m}}} = \left(\frac{\overline{V}_a}{j\omega L_{\mathrm{m}}}\right)\angle -120^\circ = \overline{I}_a\angle -120^\circ.
  • Substituindo \overline{I}_a=6\angle -90^\circ:
\overline{I}_b=6\angle (-90^\circ-120^\circ)=6\angle -210^\circ.
  • Normalizando o ângulo para o intervalo (-180^\circ,180^\circ], -210^\circ equivale a +150^\circ. Então
\overline{I}_b=6\angle 150^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Para a fase C:
\overline{I}_c=\overline{I}_a\angle +120^\circ=6\angle (-90^\circ+120^\circ)=6\angle 30^\circ\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: as correntes permanecem balanceadas e separadas por 120^\circ entre si; cada uma atrasa a tensão de sua fase em 90^\circ.

Passo 7

Converter para forma retangular (útil para desenhar) e instruções de desenho do diagrama fasorial.
  • Forma retangular (exata e decimal):
\overline{I}_a=6\angle -90^\circ=0-j6\\ \mathrm{A}.
\overline{I}_b=6\angle 150^\circ=6\big(\cos150^\circ+j\sin150^\circ\big)=6\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2}\Big)=-3\sqrt{3}+j3\\ \mathrm{A}.
\overline{I}_c=6\angle 30^\circ=6\big(\cos30^\circ+j\sin30^\circ\big)=6\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2}\Big)=3\sqrt{3}+j3\\ \mathrm{A}.
  • Valores numéricos aproximados (para auxiliar o desenho):
\overline{I}_a\approx 0 - j6.000\\ \mathrm{A},
\overline{I}_b\approx -5{,}196+ j3{,}000\\ \mathrm{A},
\overline{I}_c\approx +5{,}196+ j3{,}000\\ \mathrm{A}.
Como desenhar os fasores (passo a passo prático):
  1. Faça um plano complexo com eixo real (horizontal, componente em fase) e eixo imaginário (vertical, componente em quadratura, positivo para cima).
  2. Desenhe \overline{I}_a como um vetor de módulo 6 apontando para baixo (ângulo -90^\circ).
  3. Desenhe \overline{I}_c como um vetor de módulo 6 com ângulo +30^\circ (ou seja, inclinado 30° acima do eixo real, para a direita).
  4. Desenhe \overline{I}_b como um vetor de módulo 6 com ângulo 150^\circ (inclinado 30° acima do eixo real, para a esquerda).
  5. Verifique que os três vetores são separados por 120^\circ e que suas projeções e componentes coincidem com os valores retangulares acima.
Dica visual: \overline{I}_b e \overline{I}_c têm a mesma componente vertical +3 e componentes horizontais opostas \mp 3\sqrt{3}; \overline{I}_a está puramente vertical para baixo com 6.

Resposta

\overline{I}_a=6\angle -90^\circ\\ \mathrm{A}
\overline{I}_b=6\angle 150^\circ\\ \mathrm{A}
\overline{I}_c=6\angle 30^\circ\\ \mathrm{A}

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