Um motor de seis cilindros tem uma cilindrada de
diâmetro dos cilindros é 10 cm . Deseja-se alterar a cilindrada para
sem alterar o virabrequim. Qual deverá ser o novo diâmetro dos cilindros?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
Dados:
- Número de cilindros:
. - Cilindrada total inicial:
. - Diâmetro (bore) inicial dos cilindros:
. - Deseja-se cilindrada total nova:
. - O virabrequim não será alterado — isto significa que o curso (stroke) dos pistões permanece o mesmo.
Pergunta:
- Qual deverá ser o novo diâmetro dos cilindros para que a cilindrada total passe a
, mantendo o stroke inalterado?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): cada cilindro é aproximadamente um cilindro geométrico cujo volume é a área da base vezes a altura. Aqui:
- A base é um círculo de diâmetro
, então a área da base é . - A “altura” desse cilindro é o stroke, que chamaremos de
(em cm).
Logo, o volume de um cilindro (um cilindro do motor) é
A cilindrada total do motor com
cilindros é
Aqui
. Esse é o modelo físico-matemático que usamos.
Passo 3
Usamos os dados iniciais para calcular o stroke
(já que o virabrequim não muda e
será o mesmo depois). Substituindo
,
e
na fórmula:
A área da base com é
A área da base com
O volume total é
Isolando
:
Expliquei: eu dividi
por
; note que
, daí
.
Passo 4
Vamos dar um valor numérico aproximado para
para entender a escala:
Isso é só para referência; na manipulação exata abaixo usamos a forma
para simplificar cancelamentos.
Passo 5
Agora usamos a condição desejada
com o mesmo
e
, e resolvemos para o novo diâmetro
:
Faço álgebra step-by-step:
Multiplico e simplifico:
. Mas é mais direto calcular:
Agora substituo
. Observa o cancelamento conveniente:
Portanto
Passo 6
Tiro a raiz quadrada para obter
:
Se quiser forma exata alternativa, você pode escrever
(porque
).
Passo 7
Arredondamento e interpretação final: normalmente um diâmetro de cilindro é dado com duas casas decimais. Arredondando,
Ou seja, para aumentar a cilindrada de
para
mantendo o stroke, o diâmetro dos cilindros deve passar de
para cerca de
. Isso faz sentido: aumentar a área do pistão aumenta o volume por cilindro.