Um motor de seis cilindros tem uma cilindrada de 4.200 \mathrm{~cm}^{3} \bullet \mathrm{O} diâmetro dos cilindros é 10 cm . Deseja-se alterar a cilindrada para 4.800 \mathrm{~cm}^{3} sem alterar o virabrequim. Qual deverá ser o novo diâmetro dos cilindros?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
Dados:
  • Número de cilindros: 6.
  • Cilindrada total inicial: 4.200\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Diâmetro (bore) inicial dos cilindros: 10\\ \mathrm{cm}.
  • Deseja-se cilindrada total nova: 4.800\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • O virabrequim não será alterado — isto significa que o curso (stroke) dos pistões permanece o mesmo.
Pergunta:
  • Qual deverá ser o novo diâmetro dos cilindros para que a cilindrada total passe a 4.800\\ \mathrm{cm}^{3}, mantendo o stroke inalterado?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): cada cilindro é aproximadamente um cilindro geométrico cujo volume é a área da base vezes a altura. Aqui:
  • A base é um círculo de diâmetro D, então a área da base é \pi\frac{D^{2}}{4}.
  • A “altura” desse cilindro é o stroke, que chamaremos de S (em cm).
    Logo, o volume de um cilindro (um cilindro do motor) é
V_{\text{cil}} = \pi\frac{D^{2}}{4}\,S.
A cilindrada total do motor com N cilindros é
V_{\text{total}} = N\cdot V_{\text{cil}} = N\cdot \pi\frac{D^{2}}{4}\,S.
Aqui N=6. Esse é o modelo físico-matemático que usamos.

Passo 3

Usamos os dados iniciais para calcular o stroke S (já que o virabrequim não muda e S será o mesmo depois). Substituindo V_{\text{total}}=4.200\\ \mathrm{cm}^{3}, N=6 e D=10\\ \mathrm{cm} na fórmula:
A área da base com D=10 é
\pi\frac{10^{2}}{4}=\pi\frac{100}{4}=25\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.
O volume total é
4.200 = 6\cdot(25\pi)\,S = 150\pi\,S.
Isolando S:
S = \frac{4.200}{150\pi} = \frac{28}{\pi}\\ \mathrm{cm}.
Expliquei: eu dividi 4.200 por 150\pi; note que 4.200/150=28, daí S=28/\pi.

Passo 4

Vamos dar um valor numérico aproximado para S para entender a escala:
S \approx \frac{28}{\pi} \approx \frac{28}{3{,}14159}\approx 8{,}915\\ \mathrm{cm}.
Isso é só para referência; na manipulação exata abaixo usamos a forma S=28/\pi para simplificar cancelamentos.

Passo 5

Agora usamos a condição desejada V_{\text{total,new}}=4.800\\ \mathrm{cm}^{3} com o mesmo S e N=6, e resolvemos para o novo diâmetro D_{\text{novo}}:
4.800 = 6\cdot \pi\frac{D_{\text{novo}}^{2}}{4}\,S.
Faço álgebra step-by-step:
4.800 = 6\cdot\frac{\pi}{4}\,D_{\text{novo}}^{2}\,S.
Multiplico e simplifico: 6\cdot\frac{1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}. Mas é mais direto calcular:
D_{\text{novo}}^{2} = \frac{4.800\cdot 4}{6\pi S} = \frac{19.200}{6\pi S} = \frac{3.200}{\pi S}.
Agora substituo S=\dfrac{28}{\pi}. Observa o cancelamento conveniente:
\pi S = \pi\cdot\frac{28}{\pi}=28.
Portanto
D_{\text{novo}}^{2} = \frac{3.200}{28} = \frac{800}{7} \approx 114{,}285714\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 6

Tiro a raiz quadrada para obter D_{\text{novo}}:
D_{\text{novo}} = \sqrt{\frac{800}{7}} \approx \sqrt{114{,}285714}\approx 10{,}690\\ \mathrm{cm}.
Se quiser forma exata alternativa, você pode escrever D_{\text{novo}} = 20\sqrt{\dfrac{2}{7}}\\ \mathrm{cm} (porque \sqrt{800}=20\sqrt{2}).

Passo 7

Arredondamento e interpretação final: normalmente um diâmetro de cilindro é dado com duas casas decimais. Arredondando,
D_{\text{novo}} \approx 10{,}69\\ \mathrm{cm}.
Ou seja, para aumentar a cilindrada de 4.200\\ \mathrm{cm}^{3} para 4.800\\ \mathrm{cm}^{3} mantendo o stroke, o diâmetro dos cilindros deve passar de 10{,}00\\ \mathrm{cm} para cerca de 10{,}69\\ \mathrm{cm}. Isso faz sentido: aumentar a área do pistão aumenta o volume por cilindro.

Resposta

D_{\text{novo}}\approx 10{,}69\\ \mathrm{cm}

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