Um motor CC série, com uma resistência do induzido de 0,2 \Omega e resistência do indutor de 0,1 \Omega é alimentado sob uma tensão de 220 V . Sob estas condições ele gira à velocidade de 1000 rpm e drena uma corrente de 50,0 \mathrm{~A}. Com base nisto, responda:
a. Qual o conjugado desenvolvido pelo motor?
b. Qual o rendimento do motor?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o conjugado (torque) desenvolvido pelo motor;
  • (b) o rendimento (eficiência) do motor.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • resistência do induzido: R_a = 0{,}2\\ \Omega,
  • resistência do indutor (campo, em série): R_f = 0{,}1\\ \Omega,
  • tensão de alimentação: V = 220\\ \mathrm{V},
  • corrente de trabalho: I = 50{,}0\\ \mathrm{A},
  • velocidade mecânica: n = 1000\\ \mathrm{rpm}.
Observação importante: as resistências estão em série, logo ambas são percorridas pela mesma corrente I.

Passo 2

Primeiro calculemos a resistência total em série e a força contra-eletromotriz (f.c.e.m. ou back EMF) do motor.
Resistência total:
R_{\text{tot}} = R_a + R_f = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3\\ \Omega.
Queda de tensão nas resistências (lei de Ohm):
V_{\text{drop}} = I\,R_{\text{tot}} = 50 \cdot 0{,}3 = 15\\ \mathrm{V}.
A f.c.e.m. E (tensão induzida no induzido, que representa a conversão eléctrica → mecânica) é a diferença entre a tensão aplicada e a queda ôhmica:
E = V - V_{\text{drop}} = 220 - 15 = 205\\ \mathrm{V}.
Explicação rápida e tranquila: a f.c.e.m. é gerada quando o rotor gira no campo; ela age contra a alimentação e tem intensidade proporcional ao fluxo e à velocidade. Para motores em regime, E não é zero e permite calcular a potência convertida.

Passo 3

Vamos calcular as potências elétricas envolvidas.
Potência elétrica de entrada:
P_{\text{in}} = V \, I = 220 \cdot 50 = 11\,000\\ \mathrm{W}.
Perda ôhmica total (perdas por efeito Joule nas duas bobinas):
P_{\text{Cu}} = I^2 R_{\text{tot}} = 50^2 \cdot 0{,}3 = 2\,500 \cdot 0{,}3 = 750\\ \mathrm{W}.
A potência convertida do circuito elétrico para o eixo (potência desenvolvida, também chamada potência no “gap” ou elétrica convertida em mecânica antes das perdas mecânicas) é:
P_{\text{dev}} = E \, I.
Isso também pode ser obtido por P_{\text{dev}} = P_{\text{in}} - P_{\text{Cu}}.
Calculando:
P_{\text{dev}} = 205 \cdot 50 = 10\,250\\ \mathrm{W}.
(Confirmação: 11\,000 - 750 = 10\,250\\ \mathrm{W}.)

Passo 4

Agora relacionamos potência desenvolvida com o torque. A fórmula que liga torque T, velocidade angular \omega e potência é:
P_{\text{dev}} = T \, \omega,
onde \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
Precisamos converter a velocidade de n = 1000\\ \mathrm{rpm} para rad/s. A conversão é:
\omega = \frac{n}{60}\cdot 2\pi = \frac{1000}{60}\cdot 2\pi = \frac{100}{3}\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega \approx 104{,}719755\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta: 1\\ \mathrm{rpm} é 2\pi/60 rad/s, por isso multiplicamos por 2\pi/60.

Passo 5

Isolando o torque da relação P_{\text{dev}} = T \omega:
T = \frac{P_{\text{dev}}}{\omega}.
Substituindo os valores:
T = \frac{10\,250}{\tfrac{100}{3}\pi} = \frac{10\,250 \cdot 3}{100\pi} = \frac{30\,750}{100\pi} = \frac{307{,}5}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Valor numérico:
T \approx 97{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: esse é o torque eletromecânico desenvolvido pelo motor no eixo (antes de deduzir possíveis perdas mecânicas internas, caso houvesse).

Passo 6

Cálculo do rendimento (eficiência). Definição:
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}.
Para esta questão não foram fornecidas perdas mecânicas (atrito, ventilação) nem perdas no núcleo; portanto, vou assumir que a potência desenvolvida P_{\text{dev}} é a potência útil no eixo P_{\text{out}}. (Se houvesse perdas mecânicas, deveríamos subtrair essas perdas de P_{\text{dev}} antes de calcular \eta.)
Assim:
\eta = \frac{P_{\text{dev}}}{P_{\text{in}}} = \frac{10\,250}{11\,000}.
Calculando:
\eta = 0{,}931818\ldots \approx 0{,}9318 = 93{,}18\%.
Também vemos direto uma relação prática muito simples aqui:
\eta = \frac{E}{V} = \frac{205}{220} \approx 0{,}9318,
porque P_{\text{dev}} = E I e P_{\text{in}} = V I, e I cancela.

Resposta

(a) T = 97{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}
(b) \eta = 93{,}18\%

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