Uma máquina CC com campo independente, funciona a uma velocidade constante de 3000 rpm com uma corrente de excitação constante I_{F}=10 \mathrm{~A}. Nestas condições E_{a}=105 \mathrm{~V}. A resistência do induzido é de 0,08 \Omega e a do indutor é de 1,0 \Omega. Considere que as perdas de atrito são constantes e iguais a 1 kW . Se a tensão na armadura for 118 V determine:
a. Se a máquina trabalha como motor ou gerador;
b. A corrente do induzido.
c. A potência absorvida pela armadura da máquina;
d. A potência mecânica entregue ao eixo;
e. O conjugado desenvolvido;

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Velocidade n = 3000\\ \mathrm{rpm}.
    • Corrente de excitação constante \:I_F = 10\\ \mathrm{A}.
    • Fem (fem, força eletromotriz induzida) em regime com I_F=10\\ \mathrm{A}: E_a = 105\\ \mathrm{V}.
    • Resistência do induzido (armadura): R_a = 0,08\\ \Omega.
    • Resistência do indutor (campo): R_F = 1{,}0\\ \Omega.
    • Perdas de atrito (mecânicas) constantes: P_{atrito} = 1{,}0\\ \mathrm{kW}.
    • Tensão aplicada na armadura: V_a = 118\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    (a) dizer se a máquina trabalha como motor ou gerador;
    (b) a corrente do induzido I_a;
    (c) a potência absorvida pela armadura;
    (d) a potência mecânica entregue ao eixo;
    (e) o conjugado desenvolvido.

Passo 2

Conceitos básicos e a equação elétrica da armadura (explicando como usar na prova).
  • Em uma máquina CC com campo independente, a equação da armadura é, em forma escalar:
V_a = E_a + I_a R_a
quando a máquina está operando como motor (a tensão aplicada V_a vence a fem E_a e faz fluir corrente I_a na armadura). Para gerador, a fem E_a tende a empurrar corrente para o terminal e a equação, tomada com sinais consistentemente, aparece como
V_a = E_a - I_a R_a
ou equivalentemente se E_a>V_a então a máquina entrega corrente (gera). A forma prática de decidir motor/gerador é comparar V_a e E_a:
  • Se V_a > E_a então a tensão aplicada é maior que a fem induzida → corrente entra na armadura → funciona como motor.
  • Se E_a > V_a então a fem induzida é maior que a tensão terminal → a máquina entrega corrente → funciona como gerador.
Isso é intuitivo: motor “puxa” corrente da fonte (V maior), gerador “empurra” corrente para a rede (E maior).

Passo 3

Aplicando o critério motor/gerador ao caso dado.
  • Temos V_a = 118\\ \mathrm{V} e E_a = 105\\ \mathrm{V}.
  • Como V_a > E_a concluímos que a máquina está funcionando como motor.
Resposta para (a): a máquina trabalha como motor.

Passo 4

Cálculo da corrente do induzido I_a (passo a passo e explicação da fórmula).
  • Usamos a equação da armadura para motor:
I_a = \frac{V_a - E_a}{R_a}.
Explicando cada termo:
  • V_a é a tensão aplicada na armadura (volts).
  • E_a é a fem de armadura ou contra-e.m.f. (volts).
  • R_a é a resistência da armadura (ohms).
  • I_a é a corrente do induzido que queremos (ampères).
  • Substituindo os valores (peguei estes valores do enunciado):
I_a = \frac{118 - 105}{0,08} = \frac{13}{0,08}.
  • Fazendo a conta:
I_a = 162{,}5\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Potência elétrica absorvida pela armadura (explicação do que é e cálculo).
  • A potência elétrica absorvida pela armadura (potência elétrica fornecida à armadura) é simplesmente:
P_{a} = V_a I_a,
pois a armadura vê a tensão V_a e a corrente I_a.
  • Substituindo:
P_a = 118 \times 162{,}5 = 19\,175\\ \mathrm{W} = 19{,}175\\ \mathrm{kW}.
  • É útil decompor essa potência em componentes para entender o que acontece:
    • Potência convertida em mecânica (potência elétrica convertida por interação campo-armadura) é
    P_{conv} = E_a I_a.
    • Perda ôhmica na armadura (aquecimento) é
    P_{cu,a} = I_a^2 R_a.
    • Verificação (balanço elétrico): P_a = P_{conv} + P_{cu,a}.
Calculemos esses termos (para verificar):
P_{conv} = 105 \times 162{,}5 = 17\,062{,}5\\ \mathrm{W} = 17{,}0625\\ \mathrm{kW},
P_{cu,a} = (162{,}5)^2 \times 0{,}08 = 2\,112{,}5\\ \mathrm{W} = 2{,}1125\\ \mathrm{kW}.
E de fato 19{,}175\\ \mathrm{kW} \approx 17{,}0625\\ \mathrm{kW} + 2{,}1125\\ \mathrm{kW}.
Portanto a resposta para (c) é P_a = 19{,}175\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Potência mecânica entregue ao eixo (explicando perdas e como subtrair).
  • A potência convertida P_{conv} = E_a I_a é a potência elétrica transformada em potência mecânica no rotor (também chamada de potência do ar neste contexto, potência na interface eletromecânica). Dela devemos subtrair as perdas mecânicas (aqui, as perdas de atrito fornecidas) para obter a potência útil entregue no eixo.
  • Atenção: as perdas ôhmicas da armadura P_{cu,a} e as perdas no circuito de excitação (bobina de campo) são perdas elétricas e já foram contabilizadas no balanço elétrico; elas não são subtraídas da potência convertida para obter potência no eixo. Só as perdas mecânicas (fricção, ventilação, etc.) e outras perdas mecânicas devem ser subtraídas da potência convertida.
  • A perda de atrito dada é P_{atrito} = 1{,}0\\ \mathrm{kW} = 1000\\ \mathrm{W}.
  • (Opcional: perda no campo por aquecimento é P_{cu,F} = I_F^2 R_F = 10^2 \times 1{,}0 = 100\\ \mathrm{W}, mas isso é uma perda elétrica no circuito de campo e não é subtraída de P_{conv} para achar a potência no eixo.)
  • Então potência mecânica entregue ao eixo:
P_{eixo} = P_{conv} - P_{atrito}.
Substituindo:
P_{eixo} = 17\,062{,}5 - 1\,000 = 16\,062{,}5\\ \mathrm{W} = 16{,}0625\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Cálculo do conjugado (torque) desenvolvido — fórmulas e cálculo numérico.
  • Relação entre potência mecânica e torque:
P = T \,\omega,
onde
  • P é a potência (em watts) associada ao torque T,
  • T é o torque em newton-metro ( \mathrm{N\,m}),
  • \omega é a velocidade angular em radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}).
  • Velocidade angular \omega a partir de n (rpm):
\omega = 2\pi \frac{n}{60}.
Substituindo n = 3000\\ \mathrm{rpm}:
\omega = 2\pi \frac{3000}{60} = 2\pi \times 50 = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Há duas torques que podemos considerar:
    1. Torque eletromecânico desenvolvido (corresponde à potência P_{conv}=E_a I_a): T_{dev} = \dfrac{P_{conv}}{\omega}.
    2. Torque útil no eixo (após perdas mecânicas): T_{eixo} = \dfrac{P_{eixo}}{\omega}.
      Na prova, quando pedem “conjugado desenvolvido” normalmente se refere ao torque eletromecânico (o torque gerado pelo campo sobre o induzido), i.e. o item (1). Vou calcular ambos e declarar qual é qual.
  • Cálculo do torque desenvolvido:
T_{dev} = \frac{17\,062{,}5}{100\pi} = \frac{170{,}625}{\pi}\\ \mathrm{N\,m}.
Fazendo a conta numérica:
T_{dev} \approx 54{,}33\\ \mathrm{N\,m}.
  • Cálculo do torque no eixo (útil):
T_{eixo} = \frac{16\,062{,}5}{100\pi} = \frac{160{,}625}{\pi}\\ \mathrm{N\,m} \approx 51{,}13\\ \mathrm{N\,m}.

Passo 8

Resumo final (valores finais coletados para responder cada item pedido).
  • (a) A máquina funciona como motor porque V_a(=118\\ \mathrm{V})>E_a(=105\\ \mathrm{V}).
  • (b) Corrente do induzido: I_a = 162{,}5\\ \mathrm{A}.
  • (c) Potência absorvida pela armadura: P_a = V_a I_a = 19{,}175\\ \mathrm{kW}.
  • (d) Potência mecânica entregue ao eixo: P_{eixo} = 16{,}0625\\ \mathrm{kW}.
  • (e) Conjugado desenvolvido (torque eletromecânico): T_{dev} \approx 54{,}33\\ \mathrm{N\,m}.
    (Para referência: torque no eixo depois das perdas de atrito é T_{eixo}\approx 51{,}13\\ \mathrm{N\,m}.)

Resposta

(a) Motor.
(b) I_a = 162{,}5\\ \mathrm{A}
(c) P_a = 19{,}175\\ \mathrm{kW}
(d) P_{eixo} = 16{,}0625\\ \mathrm{kW}
(e) T_{dev} \approx 54{,}33\\ \mathrm{N\,m}

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