1. Um motorista ultrapassa um comboio de 10 caminhões que se move com velocidade escalar média de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Após a ultrapassagem decide que irá fazer um lanche num local a 150 km de distância, onde ficará parado por 12 minutos. Ele não pretende ultrapassar - comboio novamente até chegar ao seu local de destino final. Qual o valor mínimo da velocidade escalar média que o motorista deveria desenvolver, até chegar ao local do lanche, para retomar a viagem, após o lanche, à frente do comboio? Resposta: Vméd =102,3 km/h

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade escalar média mínima que o motorista deve desenvolver até o local do lanche, de modo que, depois de parar 12 minutos, ao retomar a viagem ele esteja à frente do comboio.
Informações fornecidas:
  • Velocidade do comboio: 90\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância do ponto onde fará o lanche, medida a partir do ponto da ultrapassagem: 150\\ \mathrm{km}.
  • Tempo de parada no lanche: 12\\ \text{min}.
  • O motorista já ultrapassou o comboio (ou seja, no instante inicial ele está imediatamente à frente), e não pretende ultrapassar o comboio novamente depois do lanche; a condição é que, ao sair do lanche, ele continue à frente do comboio.

Passo 2

Vamos definir variáveis e a estratégia:
  • Seja v a velocidade escalar média (em \mathrm{km/h}) que o motorista deve manter até o local do lanche (essa é a incógnita).
  • Tempo que o motorista leva para percorrer os 150\\ \mathrm{km} até o lanche: t_1 = \dfrac{150}{v} horas.
  • Tempo de parada: t_{\text{parada}} = 12\\ \text{min} = 12/60 = 0,2\\ \text{h}.
  • Em t_1 as condições de posição serão comparadas: o motorista estará a 150\\ \mathrm{km} do ponto inicial; o comboio estará a 90\cdot t_1 km do ponto inicial. Durante a parada do motorista, o comboio continua avançando por mais t_{\text{parada}}.
Condição para o motorista estar à frente do comboio no momento em que retoma a viagem:
  • Posição do motorista ao retomar: 150\\ \mathrm{km}.
  • Posição do comboio ao mesmo instante: 90\cdot (t_1 + 0,2)\\ \mathrm{km}.
    Queremos que o motorista esteja à frente, isto é:
150 > 90\cdot\bigl(t_1 + 0,2\bigr).

Passo 3

Explicando as fórmulas que usamos (aula rapidinha, sem medo):
  • Relação básica do movimento retilíneo uniforme: distância = velocidade \times tempo, ou seja, \text{dist} = v\cdot t. Aqui usamos isso para achar tempos e posições.
  • Conversão de minutos para horas: 1\\ \text{min} = \tfrac{1}{60}\\ \text{h}. Então 12\\ \text{min} = 12/60 = 0,2\\ \text{h}.
  • Para garantir “à frente”, comparamos posições no mesmo instante de tempo (quando o motorista retoma a marcha).

Passo 4

Substituímos t_1=\dfrac{150}{v} na desigualdade:
150 > 90\cdot\left(\dfrac{150}{v} + 0,2\right).
Para achar a velocidade mínima que satisfaz essa condição usamos a igualdade limite (caso de contorno); a velocidade mínima prática vai ser um pouquinho maior que esse valor limite, mas normalmente reporta-se o valor limítrofe:
150 = 90\cdot\left(\dfrac{150}{v} + 0,2\right).

Passo 5

Resolver a equação passo a passo:
150 = 90\cdot\dfrac{150}{v} + 90\cdot0,2.
Calcular 90\cdot0,2:
90\cdot0,2 = 18.
Então:
150 = \dfrac{90\cdot150}{v} + 18.
Subtrair 18 dos dois lados:
132 = \dfrac{90\cdot150}{v}.
Calcular 90\cdot150:
90\cdot150 = 13\,500.
Logo:
132 = \dfrac{13\,500}{v}.
Isolando v:
v = \dfrac{13\,500}{132}.
Fazendo a divisão:
v = \dfrac{13\,500}{132} = \dfrac{1\,125}{11} \approx 102,2727\ldots
Arredondando conforme a resposta pedida:
v \approx 102,3\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática: se o motorista mantiver exatamente 102,3\\ \mathrm{km/h} ele chegará ao ponto do lanche exatamente no mesmo lugar que o comboio alcançaria ao final da sua parada (caso de igualdade). Para garantir que ele efetivamente fique à frente depois da parada, na prática ele deveria escolher uma velocidade levemente maior que 102,3\\ \mathrm{km/h}. Mas o valor mínimo teórico obtido pela conta é 102,3\\ \mathrm{km/h}. Força aí — bora para a prova, tu tira de letra!

Resposta

Vméd = 102,3\\ \mathrm{km/h}

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