21.48 • Uma carga puntiforme q_{1}=-4,00 \mathrm{nC} está no ponto x=0,600 \mathrm{~m}, y=0,800 \mathrm{~m}, e outra carga puntiforme q_{2}= +6,00 \mathrm{nC} está no ponto x=0,600 \mathrm{~m}, y=0. Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico na origem produzido por essas duas cargas.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais e pede o campo elétrico total na origem (módulo, direção e sentido). Informações fornecidas:
  • q_{1}=-4,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C} localizada em (x_{1},y_{1})=(0,600\\ \mathrm{m},\;0,800\\ \mathrm{m}).
  • q_{2}=+6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C} localizada em (x_{2},y_{2})=(0,600\\ \mathrm{m},\;0).
    O que se pede:
  • Calcular o módulo |\vec{E}| do campo elétrico na origem criado pelas duas cargas.
  • Determinar a direção (ângulo) do vetor campo elétrico na origem.
  • Determinar o sentido (para qual quadrante/para onde o vetor aponta).

Passo 2

Fórmula que vamos usar: o campo elétrico no ponto \vec{r} devido a uma carga pontual q em \vec{r}_q é dado por
\vec{E}(\vec{r}) = k\,q\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_q}{|\vec{r}-\vec{r}_q|^{3}},
onde:
  • k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} é a constante eletrostática,
  • \vec{r}-\vec{r}_q é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo,
  • |\vec{r}-\vec{r}_q| é a distância entre a carga e o ponto.
    Interpretação do sinal de q: se q>0, \vec{E} aponta para longe da carga; se q<0, \vec{E} aponta para a carga (ou seja, na direção de \vec{r}-\vec{r}_q com o sinal de q determinado na fórmula).
No nosso caso o ponto onde queremos o campo é a origem, \vec{r}=(0,0). Então o vetor no numerador fica \vec{r}-\vec{r}_q = -\vec{r}_q: o campo devido a cada carga aponta ao longo da reta que liga a carga à origem.

Passo 3

Calcular os vetores posição das cargas (peguei esses dados do enunciado) e as distâncias até a origem:
  • Para q_{1}: \vec{r}_1=(0,600,\;0,800)\\ \mathrm{m}. O vetor da carga até a origem é -\vec{r}_1=(-0,600,\;-0,800)\\ \mathrm{m}. A distância
r_1=|\vec{r}_1|=\sqrt{0,600^{2}+0,800^{2}}=1,00\\ \mathrm{m}.
  • Para q_{2}: \vec{r}_2=(0,600,\;0)\\ \mathrm{m}. O vetor da carga até a origem é -\vec{r}_2=(-0,600,\;0)\\ \mathrm{m}. A distância
r_2=|\vec{r}_2|=\sqrt{0,600^{2}+0^{2}}=0,600\\ \mathrm{m}.
Observação: r_1 saiu exatamente 1,00\\ \mathrm{m} porque os valores 0,600 e 0,800 formam um triângulo 3\!-\!4\!-\!5 escalonado.

Passo 4

Calcular as magnitudes dos campos produzidos por cada carga com a fórmula escalar \,E=k\frac{|q|}{r^{2}}.
  • Converter cargas: q_{1}=-4,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, q_{2}=+6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Para q_{1}:
E_{1}=k\frac{|q_{1}|}{r_{1}^{2}}=(8,99\times10^{9})\frac{4,00\times10^{-9}}{(1,00)^{2}}=8,99\times4,00=35,96\\ \mathrm{N/C}.
  • Para q_{2}:
E_{2}=k\frac{|q_{2}|}{r_{2}^{2}}=(8,99\times10^{9})\frac{6,00\times10^{-9}}{(0,600)^{2}}=(8,99\times6,00)\div0,360.
Calculemos: 8,99\times6,00=53,94. Portanto
E_{2}=\frac{53,94}{0,360}=149,833\ldots\approx149,83\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Determinar os versores (direções unitárias) dos campos, a partir dos vetores -\vec{r}_q/r (peguei \vec{r}_q do enunciado):
  • Para q_{1}: vetor direção é -\vec{r}_1/ r_1 = \dfrac{(-0,600,\,-0,800)}{1,00}=(-0,600,\,-0,800).
  • Para q_{2}: vetor direção é -\vec{r}_2/ r_2 = \dfrac{(-0,600,\;0)}{0,600}=(-1,0).
Explicação didática: o versor indica “para onde” o campo devido àquela carga aponta; multiplicando a magnitude E por esse versor obtemos as componentes cartesianas do campo.

Passo 6

Calcular as componentes x e y de cada campo:
  • Componentes de \vec{E}_1:
E_{1x}=E_{1}\cdot(-0,600)=35,96\cdot(-0,600)=-21,576\\ \mathrm{N/C},
E_{1y}=E_{1}\cdot(-0,800)=35,96\cdot(-0,800)=-28,768\\ \mathrm{N/C}.
  • Componentes de \vec{E}_2:
E_{2x}=E_{2}\cdot(-1)=-149,833\\ \mathrm{N/C}, \qquad E_{2y}=E_{2}\cdot0=0\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Somar componente a componente para obter o campo total \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2:
E_{x}=E_{1x}+E_{2x}=-21,576+(-149,833)=-171,409\\ \mathrm{N/C},
E_{y}=E_{1y}+E_{2y}=-28,768+0=-28,768\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Calcular o módulo do campo total:
|\vec{E}|=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}=\sqrt{(-171,409)^{2}+(-28,768)^{2}}.
Cálculo:
(-171,409)^{2}\approx29381,05,\qquad (-28,768)^{2}\approx827,60,
|\vec{E}|\approx\sqrt{29381,05+827,60}=\sqrt{30208,65}\approx173,81\\ \mathrm{N/C}.

Passo 9

Determinar a direção (ângulo) e explicar o sentido:
  • O ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x (sentido anti-horário) é dado por
\theta=\operatorname{atan2}(E_{y},E_{x}).
Explicando: a função \operatorname{atan2} leva em conta o sinal de E_x e E_y para colocar o ângulo no quadrante correto. Se for preferível usar a arctan simples, calcule \theta=\arctan\!\left(\dfrac{E_{y}}{E_{x}}\right) e ajuste pelo quadrante.
Aqui E_{x}<0 e E_{y}<0, portanto o vetor está no terceiro quadrante. Calculando a razão:
\frac{E_{y}}{E_{x}}=\frac{-28,768}{-171,409}=0,1679\ldots
\alpha=\arctan(0,1679)\approx9,55^\circ.
Como estamos no terceiro quadrante, \theta=180^\circ+\alpha\approx189,55^\circ.
Interpretação do sentido: o campo aponta para o terceiro quadrante, ou seja, para x negativo e y negativo — mais precisamente, fazendo um ângulo de cerca de 9,55^\circ abaixo do eixo negativo x.

Resposta

|\vec{E}|\approx173,8\\ \mathrm{N/C}
\theta\approx189,6^\circ (medido a partir do eixo positivo x, sentido anti-horário)
Sentido: aponta para o terceiro quadrante (para x negativo e y negativo), isto é, cerca de 9,55^\circ abaixo do eixo negativo x.

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