O movimento de um came é definido pela relação theta=t^{3}-9 t^{2}+15 t, sendo theta expresso em radianos e t em segundos. Determine a coordenada, a velocidade e a aceleração angulares do came quando:
a) t=0;

Passo 1

O enunciado dá a posição angular do came como função do tempo:
\theta(t)=t^{3}-9t^{2}+15t,
com \theta em radianos e t em segundos. A pergunta é: determinar a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular quando t=0.
Informações relevantes dadas:
\theta(t)=t^{3}-9t^{2}+15t, \theta em rad, t em s, e o instante de interesse é t=0.

Passo 2

Coordenada angular significa simplesmente o valor de \theta no instante pedido. Para obter \theta(0) substituímos t=0 na expressão dada:
\theta(0)=0^{3}-9\cdot0^{2}+15\cdot0.
Calculemos termo a termo: 0^{3}=0, 9\cdot0^{2}=0, 15\cdot0=0. Portanto
\theta(0)=0.
Isto significa que a posição angular do came em t=0 é 0 radianos.

Passo 3

Velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Definimos
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Regra que vamos usar (regra do poder): a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Aplicando termo a termo em \theta(t)=t^{3}-9t^{2}+15t:
  • derivada de t^{3} é 3t^{2};
  • derivada de -9t^{2} é -9\cdot 2t=-18t;
  • derivada de 15t é 15 (porque a derivada de at é a).
    Portanto
\omega(t)=3t^{2}-18t+15.

Passo 4

Agora avaliamos a velocidade angular em t=0:
\omega(0)=3\cdot0^{2}-18\cdot0+15=15.
Logo \omega(0)=15 (unidade: \mathrm{rad\,s^{-1}}). Isto quer dizer que, no instante inicial, o came está girando a 15 rad/s.

Passo 5

Aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
Derivando \omega(t)=3t^{2}-18t+15 termo a termo:
  • derivada de 3t^{2} é 6t;
  • derivada de -18t é -18;
  • derivada de 15 (constante) é 0.
    Então
\alpha(t)=6t-18.

Passo 6

Avalie a aceleração angular em t=0:
\alpha(0)=6\cdot0-18=-18.
Portanto a aceleração angular no instante t=0 é -18 (unidade: \mathrm{rad\,s^{-2}}). O sinal negativo indica que, nesse instante, a velocidade angular está diminuindo (é uma desaceleração angular).

Resposta

\theta(0)=0\\ \mathrm{rad}
\omega(0)=15\\ \mathrm{rad\,s^{-1}}
\alpha(0)=-18\\ \mathrm{rad\,s^{-2}}

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