6.5 Duas bombas idênticas são instaladas numa adutora de 250 mm de diâmetro, 5 km de extensão e coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,020 . Esta adutora interliga dois reservatórios cuja diferença entre os níveis de água é 15,0 \mathrm{~m}. Conhecendo-se as características da bomba, apresentada no quadro a seguir, e desprezando a perda de carga localizada na adutora, pede-se:
a) calcular a vazão total bombeada se as bombas forem associadas em paralelo e em série;
b) considerando a possibilidade das bombas estarem associadas em série e em paralelo e também a possibilidade de trabalhar somente uma bomba, qual a potência e NPSH máximos requeridos por uma bomba?
O enunciado pede duas coisas principais: (a) calcular a vazão total bombeada quando as duas bombas idênticas são associadas em paralelo e quando são associadas em série; (b) entre as três possibilidades (só uma bomba, duas em série, duas em paralelo), determinar a potência máxima e o NPSH máximo requeridos por uma bomba.
Informações relevantes do enunciado e da tabela (pego da tabela fornecida):
Diâmetro da adutora: \,D=0,250\\ \mathrm{m}.
Comprimento da adutora: \,L=5000\\ \mathrm{m}.
Diferença de níveis (carga estática): \,H_{\text{est}}=15{,}0\\ \mathrm{m}.
Coeficiente de atrito (fórmula Universal): \,f=0{,}020 (interpretei isso como o fator de atrito de Darcy, que é o uso mais comum).
Área da seção: pegarei A=\pi D^2/4 e calcularei.
A tabela da bomba (dados extraídos da tabela enviada): para vazões \,Q em \mathrm{m^3/h} temos as curvas de altura \,H_m, NPSH e potência \,P_B. Vou usar esses pontos para ajustar funções contínuas (polinômios simples) para H_m(Q), P_B(Q) e \text{NPSH}(Q) e assim interpolar os valores nos pontos de operação obtidos.
Observação: usei explicitamente os dados da tabela para ajustar curvas (digo quais pontos usei quando fizer os ajustes). A partir daqui eu vou montar a curva de sistema (carga estática + perdas por atrito) e igualar com a curva(s) da(s) bomba(s) para achar os pontos de operação.
Passo 2
Calcular a área da tubulação e expressar a perda de carga por atrito em função da vazão em \mathrm{m^3/h}.
Área da seção transversal:
Encontrar uma expressão contínua para a curva da bomba H_m(Q)\) a partir dos pontos da tabela. Vou ajustar um polinômio quadrático do tipo
\[H_m(Q_h)=a + b Q_h + c Q_h^2,
usando três pontos representativos da tabela: (0,80{,}0),\\ (250,65{,}0),\\ (500,25{,}0) (todos Q_h em \mathrm{m^3/h} e H em m). Substituindo:
\begin{cases} a = 80{,}0,\\[4pt] 80{,}0 + 250 b + 62500 c = 65{,}0,\\[4pt] 80{,}0 + 500 b + 250000 c = 25{,}0. \end{cases}
Da primeira equação a=80{,}0\]. Subtraindo, resolvemos para \(b e c:
250 b + 62500 c = -15,\qquad 500 b +250000 c = -55.
Resolvendo o sistema obtemos c=-0{,}0002 e b=-0{,}01. Logo a curva ajustada é
Nota: este polinômio reproduz exatamente os três pontos usados (e coincide bem com valores da tabela em pontos intermediários como Q=100 que dá H=77, conforme tabela).]
Passo 4
Calcular o ponto de operação para uma única bomba (isso será usado depois para comparar potências/NPSH). O equilíbrio é
Portanto a vazão de uma bomba isolada seria \approx 270{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.
Passo 5
Calcular o ponto de operação para as duas bombas em série. Em série a carga da bomba se soma, a vazão é a mesma que passa por ambas: condição de equilíbrio
Portanto com as duas bombas em série a vazão total é \approx 361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.
Passo 6
Calcular o ponto de operação para as duas bombas em paralelo. Em paralelo a cabeça é a mesma para ambas (cada bomba trabalha com a sua altura correspondente ao seu caudal), e as vazões se somam. Se a vazão total for Q, cada bomba fornece q=Q/2 e a condição de equilíbrio é
Logo a vazão total com bombas em paralelo é \approx 300{,}5\\ \mathrm{m^3/h}. Cada bomba opera com q=Q/2\approx 150{,}25\\ \mathrm{m^3/h}.
Passo 7
Resumindo os resultados de vazões (parte a):
Uma bomba isolada: Q\approx 270{,}3\\ \mathrm{m^3/h} (usado para comparação).
Duas bombas em paralelo (vazão total): Q_{\parallel}\approx 300{,}5\\ \mathrm{m^3/h}.
Duas bombas em série (vazão total): Q_{\serie}\approx 361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.
Agora vamos calcular potências e NPSH por bomba para cada caso para responder a parte (b).
Passo 8
Ajustar uma função contínua para a potência absorvida \,P_B(Q) (em \mathrm{cv}) a partir da tabela. Tomarei um polinômio quadrático ajustado usando três pontos representativos (100,43),\\ (300,89),\\ (500,160). Ajuste obtido:
Comparando, a potência máxima por bomba ocorre quando as bombas estão em série: P_{\max}\approx 108{,}1\\ \mathrm{cv}.
Passo 9
Ajustar uma função para NPSH requerido em função de Q. Usarei um quadrático ajustado pelos pontos (100,0{,}9),\\ (300,5{,}2),\\ (500,14{,}0). O ajuste dá:
Comparando, o NPSH máximo requerido por bomba ocorre no caso em série: \text{NPSH}_{\max}\approx 7{,}44\\ \mathrm{m}.
Passo 10
Verificação rápida de coerência com a tabela: os valores de H_m, P_B e NPSH obtidos por interpolação estão na faixa dos pontos da tabela e as tendências (potência e NPSH aumentam com vazão por bomba) são coerentes. A maior potência e maior NPSH por bomba ocorrem quando cada bomba trabalha com a maior vazão por bomba (caso série), como obtido.
Resposta
a) Paralelo: 300,5\\ \mathrm{m^3/h}. Série: 361,8\\ \mathrm{m^3/h}.
b) Potência máxima por bomba: 108,1\\ \mathrm{cv}. NPSH máximo requerido por bomba: 7,44\\ \mathrm{m}.