6.5 Duas bombas idênticas são instaladas numa adutora de 250 mm de diâmetro, 5 km de extensão e coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,020 . Esta adutora interliga dois reservatórios cuja diferença entre os níveis de água é 15,0 \mathrm{~m}. Conhecendo-se as características da bomba, apresentada no quadro a seguir, e desprezando a perda de carga localizada na adutora, pede-se:
a) calcular a vazão total bombeada se as bombas forem associadas em paralelo e em série;
b) considerando a possibilidade das bombas estarem associadas em série e em paralelo e também a possibilidade de trabalhar somente uma bomba, qual a potência e NPSH máximos requeridos por uma bomba?
\mathrm{Q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
\mathrm{H}_{\mathrm{m}}(\mathrm{m}) 80,0 79,0 77,0 73,8 70,0 65,0 59,0 52,0 43,0 35,0 25,0
\mathrm{NPSH}(\mathrm{m}) 0 0,4 0,9 1,5 2,4 3,8 5,2 7,1 8,8 11,0 14,0
\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{cv}) - 41 43 50 58 73 89 103 122 140 160

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais: (a) calcular a vazão total bombeada quando as duas bombas idênticas são associadas em paralelo e quando são associadas em série; (b) entre as três possibilidades (só uma bomba, duas em série, duas em paralelo), determinar a potência máxima e o NPSH máximo requeridos por uma bomba.
Informações relevantes do enunciado e da tabela (pego da tabela fornecida):
  • Diâmetro da adutora: \,D=0,250\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da adutora: \,L=5000\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de níveis (carga estática): \,H_{\text{est}}=15{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de atrito (fórmula Universal): \,f=0{,}020 (interpretei isso como o fator de atrito de Darcy, que é o uso mais comum).
  • Área da seção: pegarei A=\pi D^2/4 e calcularei.
  • A tabela da bomba (dados extraídos da tabela enviada): para vazões \,Q em \mathrm{m^3/h} temos as curvas de altura \,H_m, NPSH e potência \,P_B. Vou usar esses pontos para ajustar funções contínuas (polinômios simples) para H_m(Q), P_B(Q) e \text{NPSH}(Q) e assim interpolar os valores nos pontos de operação obtidos.
    Observação: usei explicitamente os dados da tabela para ajustar curvas (digo quais pontos usei quando fizer os ajustes). A partir daqui eu vou montar a curva de sistema (carga estática + perdas por atrito) e igualar com a curva(s) da(s) bomba(s) para achar os pontos de operação.

Passo 2

Calcular a área da tubulação e expressar a perda de carga por atrito em função da vazão em \mathrm{m^3/h}.
Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}250)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}015625=0{,}049087385\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média V e perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},\qquad V=\frac{Q_{\text{(m^3/s)}}}{A}.
Como a tabela de bombas usa \,Q em \mathrm{m^3/h}, é prático escrever Q_h em \mathrm{m^3/h} e Q_s=Q_h/3600 em \mathrm{m^3/s}. Substituindo:
h_f=f\frac{L}{D}\frac{(Q_s/A)^2}{2g} =K\;Q_h^2,
com
K=\frac{f(L/D)}{2g\,A^2\,(3600)^2}.
Agora calculo K. Primeiro L/D=5000/0{,}25=20000. Tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
A^2=(0{,}049087385)^2=0{,}002409\\ \mathrm{m^4}\\ (\text{aprox.}),
2g\,A^2 \approx 19{,}62\cdot 0{,}002409 \approx 0{,}04727.
(3600)^2=12\,960\,000.
\text{Denominador} = 2g\,A^2\,(3600)^2 \approx 0{,}04727\cdot 12\,960\,000 \approx 612\,549.
K=\frac{f(L/D)}{2g\,A^2\,(3600)^2}=\frac{0{,}02\cdot 20000}{612\,549}\approx \frac{400}{612\,549}\approx 0{,}0006530.
Portanto a perda por atrito em função de Q_h (em \mathrm{m^3/h}) é aproximadamente
h_f(Q_h)=KQ_h^2\approx 0{,}0006530\;Q_h^2\quad(\mathrm{m}).
A curva de sistema (carga necessária total) é então
H_{\text{sys}}(Q_h)=H_{\text{est}}+h_f(Q_h)=15{,}0 + 0{,}0006530\,Q_h^2.

Passo 3

Encontrar uma expressão contínua para a curva da bomba H_m(Q)\) a partir dos pontos da tabela. Vou ajustar um polinômio quadrático do tipo \[H_m(Q_h)=a + b Q_h + c Q_h^2,
usando três pontos representativos da tabela: (0,80{,}0),\\ (250,65{,}0),\\ (500,25{,}0) (todos Q_h em \mathrm{m^3/h} e H em m). Substituindo:
\begin{cases} a = 80{,}0,\\[4pt] 80{,}0 + 250 b + 62500 c = 65{,}0,\\[4pt] 80{,}0 + 500 b + 250000 c = 25{,}0. \end{cases}
Da primeira equação a=80{,}0\]. Subtraindo, resolvemos para \(b e c:
250 b + 62500 c = -15,\qquad 500 b +250000 c = -55.
Resolvendo o sistema obtemos c=-0{,}0002 e b=-0{,}01. Logo a curva ajustada é
\boxed{H_m(Q_h)=80 -0{,}01\,Q_h -0{,}0002\,Q_h^2\quad(\text{m})}.
Nota: este polinômio reproduz exatamente os três pontos usados (e coincide bem com valores da tabela em pontos intermediários como Q=100 que dá H=77, conforme tabela).]

Passo 4

Calcular o ponto de operação para uma única bomba (isso será usado depois para comparar potências/NPSH). O equilíbrio é
H_m(Q)=H_{\text{sys}}(Q).
Isto é
80 -0{,}01 Q -0{,}0002 Q^2 = 15 + 0{,}0006530 Q^2,
onde escrevo Q no lugar de Q_h para simplificar. Reorganizando:
65 -0{,}01 Q - (0{,}0002 + 0{,}0006530) Q^2 = 0,
65 -0{,}01 Q -0{,}00085298 Q^2 = 0.
Multiplicando por -1 e resolvendo a quadrática:
0{,}00085298 Q^2 + 0{,}01 Q - 65 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
\Delta = 0{,}01^2 + 4\cdot 0{,}00085298\cdot 65 \approx 0{,}0001 + 0{,}221775 = 0{,}221875,
\sqrt{\Delta}\approx 0{,}47111.
Tomando a raiz positiva (a outra raiz é negativa e física não faz sentido),
Q = \frac{-0{,}01 + 0{,}47111}{2\cdot 0{,}00085298} \approx \frac{0{,}46111}{0{,}00170596}\approx 270{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.
Portanto a vazão de uma bomba isolada seria \approx 270{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 5

Calcular o ponto de operação para as duas bombas em série. Em série a carga da bomba se soma, a vazão é a mesma que passa por ambas: condição de equilíbrio
2H_m(Q)=H_{\text{sys}}(Q).
Substituindo o polinômio:
2(80 -0{,}01 Q -0{,}0002 Q^2) = 15 + 0{,}0006530 Q^2.
Isto dá
160 -0{,}02 Q -0{,}0004 Q^2 = 15 + 0{,}0006530 Q^2,
145 -0{,}02 Q -0{,}00105298 Q^2 = 0,
0{,}00105298 Q^2 +0{,}02 Q -145 = 0.
Calculo do discriminante:
\Delta = 0{,}02^2 + 4\cdot 0{,}00105298\cdot 145 \approx 0{,}0004 + 0{,}610772 = 0{,}611172,
\sqrt{\Delta}\approx 0{,}78178.
Raiz positiva:
Q=\frac{-0{,}02 + 0{,}78178}{2\cdot 0{,}00105298} \approx \frac{0{,}76178}{0{,}00210596}\approx 361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.
Portanto com as duas bombas em série a vazão total é \approx 361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 6

Calcular o ponto de operação para as duas bombas em paralelo. Em paralelo a cabeça é a mesma para ambas (cada bomba trabalha com a sua altura correspondente ao seu caudal), e as vazões se somam. Se a vazão total for Q, cada bomba fornece q=Q/2 e a condição de equilíbrio é
H_m\!\left(\tfrac{Q}{2}\right)=H_{\text{sys}}(Q)=15 + 0{,}0006530\,Q^2.
Substituindo H_m polinomial:
80 -0{,}01\left(\tfrac{Q}{2}\right) -0{,}0002\left(\tfrac{Q}{2}\right)^2 =15 + 0{,}0006530\,Q^2.
Isto simplifica para
65 -0{,}005 Q -\Bigl(0{,}00005 + 0{,}0006530\Bigr)Q^2=0,
65 -0{,}005 Q -0{,}00070298\,Q^2 =0,
0{,}00070298\,Q^2 +0{,}005 Q -65 = 0.
Discriminante:
\Delta = 0{,}005^2 + 4\cdot 0{,}00070298\cdot 65 \approx 0{,}000025 + 0{,}182775 = 0{,}182800,
\sqrt{\Delta}\approx 0{,}42757.
Raiz positiva:
Q=\frac{-0{,}005 + 0{,}42757}{2\cdot 0{,}00070298} \approx \frac{0{,}42257}{0{,}00140596}\approx 300{,}5\\ \mathrm{m^3/h}.
Logo a vazão total com bombas em paralelo é \approx 300{,}5\\ \mathrm{m^3/h}. Cada bomba opera com q=Q/2\approx 150{,}25\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 7

Resumindo os resultados de vazões (parte a):
  • Uma bomba isolada: Q\approx 270{,}3\\ \mathrm{m^3/h} (usado para comparação).
  • Duas bombas em paralelo (vazão total): Q_{\parallel}\approx 300{,}5\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Duas bombas em série (vazão total): Q_{\serie}\approx 361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.
Agora vamos calcular potências e NPSH por bomba para cada caso para responder a parte (b).

Passo 8

Ajustar uma função contínua para a potência absorvida \,P_B(Q) (em \mathrm{cv}) a partir da tabela. Tomarei um polinômio quadrático ajustado usando três pontos representativos (100,43),\\ (300,89),\\ (500,160). Ajuste obtido:
\boxed{P_B(Q)=29 +0{,}11\,Q +0{,}0003\,Q^2\quad(\mathrm{cv}),}
com Q em \mathrm{m^3/h}. Esse polinômio reproduz bem a tabela nos pontos escolhidos.
Calculo agora a potência por bomba em cada cenário (cada bomba, em \mathrm{cv}):
  • Caso 1: só uma bomba, Q=270{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.
    P_{1}=29 +0{,}11\cdot 270{,}3 +0{,}0003\cdot(270{,}3)^2.
    Calculemos passo a passo: 0{,}11\cdot 270{,}3\approx 29{,}733. (270{,}3)^2\approx 73\,062{,}1. 0{,}0003\cdot 73\,062{,}1\approx 21{,}919. Somando:
    P_{1}\approx 29 +29{,}733 +21{,}919 \approx 80{,}65\\ \mathrm{cv}.
  • Caso 2: duas bombas em paralelo, cada bomba tem q=150{,}25\\ \mathrm{m^3/h}.
    P_{\parallel}=29 +0{,}11\cdot 150{,}25 +0{,}0003\cdot(150{,}25)^2.
    0{,}11\cdot150{,}25\approx 16{,}5275. (150{,}25)^2\approx 22\,575{,}06. 0{,}0003\cdot22\,575{,}06\approx 6{,}7725. Somando:
    P_{\parallel}\approx 29 +16{,}5275 +6{,}7725 \approx 52{,}30\\ \mathrm{cv}\\ \text{(por bomba)}.
  • Caso 3: duas bombas em série, cada bomba tem Q=361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.
    P_{\serie}=29 +0{,}11\cdot 361{,}8 +0{,}0003\cdot(361{,}8)^2.
    0{,}11\cdot361{,}8\approx 39{,}798. (361{,}8)^2\approx 130\,899{,}24. 0{,}0003\cdot130\,899{,}24\approx 39{,}270. Somando:
    P_{\serie}\approx 29 +39{,}798 +39{,}270 \approx 108{,}07\\ \mathrm{cv}\\ \text{(por bomba)}.
Comparando, a potência máxima por bomba ocorre quando as bombas estão em série: P_{\max}\approx 108{,}1\\ \mathrm{cv}.

Passo 9

Ajustar uma função para NPSH requerido em função de Q. Usarei um quadrático ajustado pelos pontos (100,0{,}9),\\ (300,5{,}2),\\ (500,14{,}0). O ajuste dá:
\boxed{\text{NPSH}(Q)=0{,}4375 -0{,}001\,Q +0{,}00005625\,Q^2\quad(\mathrm{m}).}
Agora calculo o NPSH requerido por bomba em cada cenário:
  • Uma bomba, Q=270{,}3\\ \mathrm{m^3/h}:
    \text{NPSH}_1=0{,}4375 -0{,}001\cdot 270{,}3 +0{,}00005625\cdot (270{,}3)^2.
    (270{,}3)^2\approx 73\,062{,}1. Termos: -0{,}001\cdot270{,}3=-0{,}2703. 0{,}00005625\cdot73\,062{,}1\approx 4{,}1097. Somando:
    \text{NPSH}_1\approx 0{,}4375 -0{,}2703 +4{,}1097 \approx 4{,}277\\ \mathrm{m}.
  • Paralelo, cada bomba q=150{,}25\\ \mathrm{m^3/h}:
    \text{NPSH}_{\parallel}=0{,}4375 -0{,}001\cdot150{,}25 +0{,}00005625\cdot(150{,}25)^2.
    (150{,}25)^2\approx 22\,575{,}06. Termos: -0{,}15025 e +1{,}26985. Somando:
    \text{NPSH}_{\parallel}\approx 0{,}4375 -0{,}15025 +1{,}26985 \approx 1{,}557\\ \mathrm{m}.
  • Série, cada bomba Q=361{,}8\\ \mathrm{m^3/h}:
    \text{NPSH}_{\serie}=0{,}4375 -0{,}001\cdot361{,}8 +0{,}00005625\cdot(361{,}8)^2.
    (361{,}8)^2\approx 130\,899{,}24. Termos: -0{,}3618 e +7{,}3631. Somando:
    \text{NPSH}_{\serie}\approx 0{,}4375 -0{,}3618 +7{,}3631 \approx 7{,}439\\ \mathrm{m}.
Comparando, o NPSH máximo requerido por bomba ocorre no caso em série: \text{NPSH}_{\max}\approx 7{,}44\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Verificação rápida de coerência com a tabela: os valores de H_m, P_B e NPSH obtidos por interpolação estão na faixa dos pontos da tabela e as tendências (potência e NPSH aumentam com vazão por bomba) são coerentes. A maior potência e maior NPSH por bomba ocorrem quando cada bomba trabalha com a maior vazão por bomba (caso série), como obtido.

Resposta

a) Paralelo: 300,5\\ \mathrm{m^3/h}. Série: 361,8\\ \mathrm{m^3/h}.
b) Potência máxima por bomba: 108,1\\ \mathrm{cv}. NPSH máximo requerido por bomba: 7,44\\ \mathrm{m}.

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