6.6 A curva característica de duas bombas iguais associadas em paralelo apresenta os seguintes dados:
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
15,5
15,2
14,6
13,4
12,0
10,0
7,6
4,4
Com um desnível geométrico de
, as duas bombas ligadas recalcam
sob a altura manométrica de
. Qual a altura manométrica e qual a vazão de apenas uma bomba ligada?
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0,0 | 2,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 | 10,0 | 12,0 | 14,0 |
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15,5 | 15,2 | 14,6 | 13,4 | 12,0 | 10,0 | 7,6 | 4,4 |
Passo 1
O enunciado dá a curva característica de duas bombas iguais em paralelo através da tabela (você enviou a tabela) e informa que, com um desnível geométrico de
, as duas bombas, em conjunto, entregam
sob altura manométrica
. O que o problema pede é: encontrarmos a altura manométrica e a vazão quando apenas uma bomba está ligada (isto é, o ponto de operação do sistema com uma bomba só).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Dados experimentais (já fornecidos na tabela) referem-se a duas bombas iguais associadas em paralelo: para cada
(vazão total combinada) temos (altura manométrica combinada). - Ponto conhecido de operação com as duas bombas:
e . - Desnível geométrico (carga estática) do sistema:
. - Pressuposto físico assumido (comum em problemas desse tipo): as perdas de carga da tubulação dependem quadraticamente da vazão, ou seja,
, com sendo a vazão total do sistema.
O objetivo operacional daqui para frente: determinar a curva da bomba isolada (a partir da curva das duas em paralelo), obter a curva do sistema (a partir do ponto conhecido), e achar o ponto de interseção entre a curva da bomba isolada e a curva do sistema — esse ponto dá a vazão e a altura manométrica com uma bomba só.
Passo 2
Conceitos fundamentais e como vamos usá‑los (explicação didática):
- Bombas em paralelo: quando ligamos bombas idênticas em paralelo, a altura manométrica entregue por cada bomba é a mesma e as vazões somam. Ou seja, para duas bombas idênticas, se a vazão total for
, cada bomba fornece , e a altura disponível é a mesma que aparece na curva para . - Curva do sistema: a altura total que o sistema exige para uma vazão
é a soma da carga estática (o desnível geométrico) e das perdas por atrito . Assumimos . Assim
- Ponto conhecido (duas bombas): no ponto dado
temos
Isto permite determinar
.
Procedimento prático:
- Determinar
a partir do ponto conhecido. - Obter a curva da bomba isolada: a curva dada é para duas bombas em paralelo; a curva de uma bomba isolada é obtida mantendo
igual e usando . - Para obter uma expressão contínua da curva da bomba (para poder resolver algebraicamente), ajustamos um polinômio (quadrático) à curva dada de duas bombas e depois transformamos para a bomba isolada substituindo
. - Igualamos a curva da bomba isolada à curva do sistema
e resolvemos para . Esse será a vazão com uma bomba; a altura manométrica é então .
Passo 3
Determinar a constante
das perdas usando o ponto conhecido das duas bombas:
- Do passo anterior encontramos
. - Assumindo
(com em para manter coerência com os dados), temos
Logo a curva do sistema (em termos de
em
) é
Passo 4
Construir uma expressão algébrica para a curva das duas bombas (para podermos manipular matematicamente) ajustando um polinômio quadrático aos dados fornecidos.
Vamos ajustar uma forma quadrática
usando três pontos da tabela para obter
. Escolhemos os pontos
com
,
com
e
com
.
- Do ponto
obtemos imediatamente . - Substituindo
:
- Substituindo
:
Resolvendo o sistema linear para
e
:
- Multiplicando a primeira equação por
temos . - Subtraindo desta a segunda equação:
- Substituindo em
:
Portanto a curva ajustada das duas bombas é aproximadamente
Passo 5
Obter a curva da bomba isolada. Como para duas bombas em paralelo a vazão total é
, a curva da bomba isolada, em termos de
(vazão de uma bomba), é
Substituindo
na expressão encontrada:
Simplificando:
(Valores arredondados mostrados; mantemos precisão suficiente para cálculo.)
Passo 6
Encontrar o ponto de operação com uma bomba: igualamos a curva da bomba isolada à curva do sistema (ambas funções de
, a vazão única do sistema quando uma bomba está ligada):
Colocando todos os termos no mesmo lado:
Multiplicando por
para facilitar:
Aplicando a fórmula quadrática
com
,
,
:
- Primeiro calcule o discriminante:
- Raízes:
A raiz positiva (física) é com o sinal
:
A raiz negativa não é física (vazão negativa), então descartamos.
Passo 7
Calcular a altura manométrica correspondente ao ponto encontrado:
- Usando a curva do sistema (mais simples):
- Conferência usando a curva da bomba isolada:
o que coincide (diferença de arredondamento). Portanto o ponto é consistente.
Passo 8
Interpretação final e incentivo:
- Com uma bomba só, a vazão diminui de
(duas bombas) para . - A altura manométrica disponível também cai para cerca de
.
Boa! Isso mostra direitinho como passar de curva combinada para bomba isolada e como usar o ponto conhecido para achar a curva do sistema — técnica útil para provas. Você conseguiu chegar até aqui; respira, anota os passos em folha e repete o raciocínio com calma.
Resposta
Vazão com uma bomba ligada:
Altura manométrica com uma bomba ligada:
Altura manométrica com uma bomba ligada: