6.6 A curva característica de duas bombas iguais associadas em paralelo apresenta os seguintes dados:
\mathrm{Q}(\mathrm{I} / \mathrm{s}) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
\mathrm{H}_{\mathrm{m}}(\mathrm{m}) 15,5 15,2 14,6 13,4 12,0 10,0 7,6 4,4
Com um desnível geométrico de 6,0 \mathrm{~m}, as duas bombas ligadas recalcam 10 \mathrm{l} / \mathrm{s} sob a altura manométrica de 10,0 \mathrm{~m}. Qual a altura manométrica e qual a vazão de apenas uma bomba ligada?

Passo 1

O enunciado dá a curva característica de duas bombas iguais em paralelo através da tabela (você enviou a tabela) e informa que, com um desnível geométrico de 6,0\\ \mathrm{m}, as duas bombas, em conjunto, entregam 10,0\\ \mathrm{L/s} sob altura manométrica 10,0\\ \mathrm{m}. O que o problema pede é: encontrarmos a altura manométrica e a vazão quando apenas uma bomba está ligada (isto é, o ponto de operação do sistema com uma bomba só).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Dados experimentais (já fornecidos na tabela) referem-se a duas bombas iguais associadas em paralelo: para cada Q (vazão total combinada) temos H_m (altura manométrica combinada).
  • Ponto conhecido de operação com as duas bombas: Q_{\text{total}}=10,0\\ \mathrm{L/s} e H_m=10,0\\ \mathrm{m}.
  • Desnível geométrico (carga estática) do sistema: H_s=6,0\\ \mathrm{m}.
  • Pressuposto físico assumido (comum em problemas desse tipo): as perdas de carga da tubulação dependem quadraticamente da vazão, ou seja, H_{\text{perda}} = k\,Q^2, com Q sendo a vazão total do sistema.
O objetivo operacional daqui para frente: determinar a curva da bomba isolada (a partir da curva das duas em paralelo), obter a curva do sistema (a partir do ponto conhecido), e achar o ponto de interseção entre a curva da bomba isolada e a curva do sistema — esse ponto dá a vazão e a altura manométrica com uma bomba só.

Passo 2

Conceitos fundamentais e como vamos usá‑los (explicação didática):
  • Bombas em paralelo: quando ligamos bombas idênticas em paralelo, a altura manométrica entregue por cada bomba é a mesma e as vazões somam. Ou seja, para duas bombas idênticas, se a vazão total for Q_{\text{total}}, cada bomba fornece Q_1 = Q_{\text{total}}/2, e a altura H disponível é a mesma que aparece na curva para Q_{\text{total}}.
  • Curva do sistema: a altura total que o sistema exige para uma vazão Q é a soma da carga estática H_s (o desnível geométrico) e das perdas por atrito H_{\text{perda}}(Q). Assumimos H_{\text{perda}}(Q)=k\,Q^2. Assim
H_{\text{sys}}(Q)=H_s + k\,Q^2.
  • Ponto conhecido (duas bombas): no ponto dado (Q_{\text{total}}=10,0\\ \mathrm{L/s},\\ H=10,0\\ \mathrm{m}) temos
H_{\text{perda}}(10,0)=H_{\text{sys}}(10,0)-H_s=10,0-6,0=4,0\\ \mathrm{m}.
Isto permite determinar k.
Procedimento prático:
  1. Determinar k a partir do ponto conhecido.
  2. Obter a curva da bomba isolada: a curva dada é para duas bombas em paralelo; a curva de uma bomba isolada é obtida mantendo H igual e usando Q_1 = Q_{\text{total}}/2.
  3. Para obter uma expressão contínua da curva da bomba (para poder resolver algebraicamente), ajustamos um polinômio (quadrático) à curva dada de duas bombas e depois transformamos para a bomba isolada substituindo Q_{\text{total}}=2Q_1.
  4. Igualamos a curva da bomba isolada à curva do sistema H_{\text{sys}}(Q_1) e resolvemos para Q_1. Esse será a vazão com uma bomba; a altura manométrica é então H_{\text{sys}}(Q_1).

Passo 3

Determinar a constante k das perdas usando o ponto conhecido das duas bombas:
  • Do passo anterior encontramos H_{\text{perda}}(10,0)=4,0\\ \mathrm{m}.
  • Assumindo H_{\text{perda}}(Q)=k\,Q^2 (com Q em \mathrm{L/s} para manter coerência com os dados), temos
k=\frac{H_{\text{perda}}(10,0)}{(10,0)^2}=\frac{4,0}{100}=0,04.
Logo a curva do sistema (em termos de Q em \mathrm{L/s}) é
H_{\text{sys}}(Q)=6,0 + 0,04\,Q^2.

Passo 4

Construir uma expressão algébrica para a curva das duas bombas (para podermos manipular matematicamente) ajustando um polinômio quadrático aos dados fornecidos.
Vamos ajustar uma forma quadrática
H_{\text{duas}}(Q)=A + BQ + CQ^2,
usando três pontos da tabela para obter A,B,C. Escolhemos os pontos Q=0,0 com H=15,5, Q=10,0 com H=10,0 e Q=14,0 com H=4,4.
  • Do ponto Q=0,0 obtemos imediatamente A=15,5.
  • Substituindo Q=10,0:
15,5 + 10,0 B + 100 C = 10,0 \quad\Rightarrow\quad 10,0B + 100 C = -5,5.
  • Substituindo Q=14,0:
15,5 + 14,0 B + 196 C = 4,4 \quad\Rightarrow\quad 14,0B + 196 C = -11,1.
Resolvendo o sistema linear para B e C:
  • Multiplicando a primeira equação por 1{,}4 temos 14{,}0B + 140 C = -7{,}7.
  • Subtraindo desta a segunda equação:
(14{,}0B + 196 C) - (14{,}0B + 140 C) = -11{,}1 -(-7{,}7)
56 C = -3{,}4 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{3{,}4}{56} = -0{,}0607143\\ (\text{aprox.}).
  • Substituindo em 10{,}0B + 100 C = -5{,}5:
10{,}0B = -5{,}5 - 100(-0{,}0607143) = -5{,}5 + 6{,}07143 = 0{,}5714286,
B = 0{,}05714286\\ (\text{aprox.}).
Portanto a curva ajustada das duas bombas é aproximadamente
H_{\text{duas}}(Q)=15,5 + 0,0571429\,Q -0,0607143\,Q^2.

Passo 5

Obter a curva da bomba isolada. Como para duas bombas em paralelo a vazão total é Q_{\text{total}}=2Q_1, a curva da bomba isolada, em termos de Q_1 (vazão de uma bomba), é
H_{\text{uma}}(Q_1)=H_{\text{duas}}(2Q_1).
Substituindo Q=2Q_1 na expressão encontrada:
H_{\text{uma}}(Q_1)=15,5 + 0,0571429\,(2Q_1) -0,0607143\,(2Q_1)^2.
Simplificando:
H_{\text{uma}}(Q_1)=15,5 + 0,1142858\,Q_1 -0,2428572\,Q_1^2.
(Valores arredondados mostrados; mantemos precisão suficiente para cálculo.)

Passo 6

Encontrar o ponto de operação com uma bomba: igualamos a curva da bomba isolada à curva do sistema (ambas funções de Q_1, a vazão única do sistema quando uma bomba está ligada):
15,5 + 0,1142858\,Q_1 -0,2428572\,Q_1^2 = 6,0 + 0,04\,Q_1^2.
Colocando todos os termos no mesmo lado:
-0,2428572\,Q_1^2 - 0,04\,Q_1^2 + 0,1142858\,Q_1 + (15,5-6,0)=0.
-0,2828572\,Q_1^2 + 0,1142858\,Q_1 + 9,5 = 0.
Multiplicando por -1 para facilitar:
0,2828572\,Q_1^2 - 0,1142858\,Q_1 - 9,5 = 0.
Aplicando a fórmula quadrática Q_1 = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} com a=0,2828572, b=-0,1142858, c=-9,5:
  • Primeiro calcule o discriminante:
\Delta = (-0,1142858)^2 - 4(0,2828572)(-9,5) = 0,0130612 + 10,7542856 \approx 10,7673468.
\sqrt{\Delta} \approx 3,280192.
  • Raízes:
Q_1 = \frac{0,1142858 \pm 3,280192}{2\cdot 0,2828572}.
A raiz positiva (física) é com o sinal +:
Q_1 \approx \frac{3,3944778}{0,5657144} \approx 6{,}0\\ \mathrm{L/s}.
A raiz negativa não é física (vazão negativa), então descartamos.

Passo 7

Calcular a altura manométrica correspondente ao ponto encontrado:
  • Usando a curva do sistema (mais simples):
H_{\text{op}} = H_{\text{sys}}(Q_1)=6,0 + 0,04\,(6{,}0)^2 = 6,0 + 0,04\cdot 36 = 6,0 + 1,44 = 7,44\\ \mathrm{m}.
  • Conferência usando a curva da bomba isolada:
H_{\text{uma}}(6{,}0)\approx 15,5 + 0,1142858\cdot 6{,}0 -0,2428572\cdot 36 \approx 15,5 + 0,6857148 -8,7428592 \approx 7,4428556\\ \mathrm{m},
o que coincide (diferença de arredondamento). Portanto o ponto é consistente.

Passo 8

Interpretação final e incentivo:
  • Com uma bomba só, a vazão diminui de 10{,}0\\ \mathrm{L/s} (duas bombas) para 6{,}0\\ \mathrm{L/s}.
  • A altura manométrica disponível também cai para cerca de 7,44\\ \mathrm{m}.
    Boa! Isso mostra direitinho como passar de curva combinada para bomba isolada e como usar o ponto conhecido para achar a curva do sistema — técnica útil para provas. Você conseguiu chegar até aqui; respira, anota os passos em folha e repete o raciocínio com calma.

Resposta

Vazão com uma bomba ligada: 6,0\\ \mathrm{L/s}
Altura manométrica com uma bomba ligada: 7,44\\ \mathrm{m}

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