4 (Movimento em duas dimensões - 2,0 pontos) Uma partícula é lançada de uma catapulta no tempo t=0, com uma velocidade inicial de módulo v_0 e ângulo \theta_0 em relação à horizontal. Determine os vetores velocidade e posição da partícula no tempo t=3,0 s. Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (sem resolver ainda):
  • Lançamento no tempo \,t=0.
  • Velocidade inicial de módulo \,v_0 e ângulo \,\theta_0 em relação à horizontal.
  • Valor da aceleração da gravidade: \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pede-se os vetores velocidade e posição da partícula no tempo \,t=3,0\\ \mathrm{s}.
Observações necessárias para resolver (estas são condições que vamos usar):
  • Assumir que o lançamento ocorre a partir da origem do sistema de referência: \,\vec r(0)=\vec 0 (se o enunciado não indica posição inicial diferente, essa é a escolha padrão).
  • Desprezar resistência do ar (outra hipótese padrão para movimentos de projéteis, caso não indicada).
  • A aceleração é constante e vertical para baixo: \,\vec a = -g\,\hat{\jmath}.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é uma técnica essencial: qualquer vetor no plano pode ser escrito como soma das componentes ao longo dos eixos horizontal ( \,\hat{\imath\!}) e vertical ( \,\hat{\jmath}).
A velocidade inicial vetorial é
\vec v_0 = v_0\cos\theta_0\,\hat{\imath} + v_0\sin\theta_0\,\hat{\jmath}.
Explicando: \,v_0\cos\theta_0 é a componente horizontal (porque \cos projeta na horizontal) e \,v_0\sin\theta_0 é a componente vertical (porque \sin projeta na vertical). As unidades são \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora explico a aceleração: a única aceleração que atua é a gravidade, vertical para baixo, constante e igual a -g na direção vertical. Em forma vetorial:
\vec a = 0\,\hat{\imath} - g\,\hat{\jmath}.
Isto significa que não há variação da velocidade na direção horizontal (componente horizontal da aceleração é zero) e que a componente vertical da velocidade diminui com o tempo devido a -g.

Passo 4

A velocidade como função do tempo obtém-se integrando a aceleração em relação ao tempo (ou usando as fórmulas básicas do MRUV). Para cada componente:
Componente horizontal:
v_x(t) = v_0\cos\theta_0 \quad\text{(constante, pois }a_x=0\text{).}
Componente vertical:
v_y(t) = v_0\sin\theta_0 - g\,t.
Juntando as componentes, o vetor velocidade para tempo genérico t é
\vec v(t) = v_0\cos\theta_0\,\hat{\imath} + \bigl(v_0\sin\theta_0 - g\,t\bigr)\,\hat{\jmath}.
Explicação do porquê: a integração de \,a_y=-g \,v_y(t)=v_y(0)-gt, onde \,v_y(0)=v_0\sin\theta_0.

Passo 5

Agora avalio a velocidade no tempo pedido \,t=3,0\\ \mathrm{s}, substituindo t=3,0 e g=9,8:
v_x(3,0)=v_0\cos\theta_0, \qquad v_y(3,0)=v_0\sin\theta_0 - 9,8\cdot 3,0.
Calculo o produto numérico:
9,8\cdot 3,0 = 29,4.
Portanto
\vec v(3,0) = v_0\cos\theta_0\,\hat{\imath} + \bigl(v_0\sin\theta_0 - 29,4\bigr)\,\hat{\jmath}.

Passo 6

Para a posição, usamos a equação do movimento para aceleração constante (MRUV) componente a componente. Partindo de \vec r(0)=\vec 0:
\vec r(t) = \vec r(0) + \vec v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\vec a\,t^2.
Desmembrando em componentes:
x(t) = v_0\cos\theta_0\; t, \qquad y(t) = v_0\sin\theta_0\; t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Explicando cada termo: v_0\cos\theta_0\,t é o deslocamento horizontal (velocidade horizontal constante vezes tempo). Em y, o termo linear é o deslocamento vertical devido à velocidade inicial e -\tfrac12 g t^2 é a contribuição do deslocamento devido à aceleração da gravidade (sempre para baixo).

Passo 7

Avalio as componentes no tempo \,t=3,0\\ \mathrm{s}. Para x:
x(3,0) = v_0\cos\theta_0 \cdot 3,0 = 3,0\,v_0\cos\theta_0.
Para y:
y(3,0) = v_0\sin\theta_0 \cdot 3,0 - \tfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot (3,0)^2.
Calculo o termo com g:
\tfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot (3,0)^2 = 4,9 \cdot 9 = 44,1.
Logo
y(3,0) = 3,0\,v_0\sin\theta_0 - 44,1.
Assim o vetor posição no instante pedido é
\vec r(3,0) = 3,0\,v_0\cos\theta_0\,\hat{\imath} + \bigl(3,0\,v_0\sin\theta_0 - 44,1\bigr)\,\hat{\jmath}.

Resposta

\vec v(3,0) = v_0\cos\theta_0\,\hat{\imath} + \bigl(v_0\sin\theta_0 - 29,4\bigr)\,\hat{\jmath}
\vec r(3,0) = 3,0\,v_0\cos\theta_0\,\hat{\imath} + \bigl(3,0\,v_0\sin\theta_0 - 44,1\bigr)\,\hat{\jmath}

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