4 (Movimento em duas dimensões - 2,0 pontos) Uma partícula é lançada de uma catapulta no tempo
, com uma velocidade inicial de módulo
e ângulo
em relação à horizontal. Determine os vetores velocidade e posição da partícula no tempo
. Use
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (sem resolver ainda):
- Lançamento no tempo
. - Velocidade inicial de módulo
e ângulo em relação à horizontal. - Valor da aceleração da gravidade:
. - Pede-se os vetores velocidade e posição da partícula no tempo
.
Observações necessárias para resolver (estas são condições que vamos usar):
- Assumir que o lançamento ocorre a partir da origem do sistema de referência:
(se o enunciado não indica posição inicial diferente, essa é a escolha padrão). - Desprezar resistência do ar (outra hipótese padrão para movimentos de projéteis, caso não indicada).
- A aceleração é constante e vertical para baixo:
.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é uma técnica essencial: qualquer vetor no plano pode ser escrito como soma das componentes ao longo dos eixos horizontal (
) e vertical (
).
A velocidade inicial vetorial é
Explicando:
é a componente horizontal (porque
projeta na horizontal) e
é a componente vertical (porque
projeta na vertical). As unidades são
.
Passo 3
Agora explico a aceleração: a única aceleração que atua é a gravidade, vertical para baixo, constante e igual a
na direção vertical. Em forma vetorial:
Isto significa que não há variação da velocidade na direção horizontal (componente horizontal da aceleração é zero) e que a componente vertical da velocidade diminui com o tempo devido a
.
Passo 4
A velocidade como função do tempo obtém-se integrando a aceleração em relação ao tempo (ou usando as fórmulas básicas do MRUV). Para cada componente:
Componente horizontal:
Componente vertical:
Juntando as componentes, o vetor velocidade para tempo genérico
é
Explicação do porquê: a integração de
dá
, onde
.
Passo 5
Agora avalio a velocidade no tempo pedido
, substituindo
e
:
Calculo o produto numérico:
Portanto
Passo 6
Para a posição, usamos a equação do movimento para aceleração constante (MRUV) componente a componente. Partindo de
:
Desmembrando em componentes:
Explicando cada termo:
é o deslocamento horizontal (velocidade horizontal constante vezes tempo). Em
, o termo linear é o deslocamento vertical devido à velocidade inicial e
é a contribuição do deslocamento devido à aceleração da gravidade (sempre para baixo).
Passo 7
Avalio as componentes no tempo
. Para
:
Para
:
Calculo o termo com
:
Logo
Assim o vetor posição no instante pedido é