5 (Movimento em duas dimensões - 2,0 pontos) Um malabarista arremessa bolas verticalmente para cima, de tal forma que elas descrevem um movimento circular horizontal de raio 1,2 \mathrm{~m} a 1,5 \mathrm{~m} acima do chão. Determine a velocidade com que as bolas devem ser arremessadas horizontalmente, chegando ao solo, depois de completar o movimento circular.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Raio do movimento circular horizontal: r=1,2\\ \mathrm{m}.
    • Altura do plano do movimento em relação ao chão: h=1,5\\ \mathrm{m}.
    • A aceleração da gravidade será usada como g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • O que o problema pede:
    • Determinar a velocidade horizontal com que as bolas devem ser lançadas de forma que, depois de completarem o movimento circular (uma volta completa), cheguem ao solo (isto é, atinjam o chão exatamente ao término dessa volta).

Passo 2

Entender o tempo de queda vertical (quase a única peça de teoria vertical que precisamos).
  • Quando um objeto parte com velocidade vertical inicial nula e cai de uma altura h sob a ação da gravidade, a posição vertical satisfaz
y(t)=h-\tfrac{1}{2}g t^{2},
onde y(t) é a altura no instante t. Ao atingir o solo temos y(t)=0. Assim o tempo de queda t_{\text{queda}} satisfaz
0=h-\tfrac{1}{2}g t_{\text{queda}}^{2}.
  • Resolvendo para t_{\text{queda}} obtemos a fórmula bem conhecida
t_{\text{queda}}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • t_{\text{queda}} é o tempo que demora para a bola cair do plano circular até o solo.
    • h é a altura inicial (aqui 1,5\\ \mathrm{m}).
    • g é a aceleração da gravidade ( 9,8\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 3

Entender o tempo de uma volta na trajetória circular horizontal (teoria do movimento circular uniforme).
  • Se a bola descreve um movimento circular horizontal uniforme de raio r com velocidade tangencial constante v, a distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência 2\pi r.
  • O período T (tempo para uma volta completa) é a razão entre comprimento percorrido e velocidade:
T=\dfrac{2\pi r}{v}.
  • Explicando os símbolos:
    • T é o tempo de uma volta completa.
    • r é o raio (aqui 1,2\\ \mathrm{m}).
    • v é a velocidade tangencial (horizontal) que queremos encontrar.

Passo 4

Relacionar os dois tempos (porque o enunciado diz que a bola chega ao solo depois de completar o movimento circular).
  • Interpretação prática: “chegar ao solo depois de completar o movimento circular” significa que o tempo que a bola leva para completar uma volta T deve ser igual ao tempo que ela leva para cair até o chão t_{\text{queda}}.
  • Portanto impomos a igualdade
T = t_{\text{queda}}.

Passo 5

Combinar as fórmulas e isolar v.
  • Substituindo as expressões dos passos anteriores:
\dfrac{2\pi r}{v}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
  • Isolando v:
v=\dfrac{2\pi r}{\sqrt{\dfrac{2h}{g}}} =2\pi r\sqrt{\dfrac{g}{2h}}.
  • Esta fórmula dá a velocidade tangencial (horizontal) necessária em termos de r, h e g. Cada símbolo já foi explicado anteriormente.

Passo 6

Substituir os valores e calcular numericamente (fazendo as contas passo a passo, sem pular etapas).
  • Primeiro o tempo de queda:
t_{\text{queda}}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1,5}{9,8}}=\sqrt{\dfrac{3}{9,8}}=\sqrt{0,306122\ldots}\approx 0,553\\ \mathrm{s}.
  • O comprimento da circunferência:
2\pi r=2\pi\cdot 1,2\approx 7,5398\\ \mathrm{m}.
  • Dividindo para obter a velocidade:
v=\dfrac{2\pi r}{t_{\text{queda}}}\approx \dfrac{7,5398}{0,553\\ } \approx 13,627\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

13,63\\ \mathrm{m/s}

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