5 (Movimento em duas dimensões - 2,0 pontos) Um malabarista arremessa bolas verticalmente para cima, de tal forma que elas descrevem um movimento circular horizontal de raio
a
acima do chão. Determine a velocidade com que as bolas devem ser arremessadas horizontalmente, chegando ao solo, depois de completar o movimento circular.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
-
Dados extraídos do enunciado:
- Raio do movimento circular horizontal:
. - Altura do plano do movimento em relação ao chão:
. - A aceleração da gravidade será usada como
(valor padrão).
- Raio do movimento circular horizontal:
-
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade horizontal com que as bolas devem ser lançadas de forma que, depois de completarem o movimento circular (uma volta completa), cheguem ao solo (isto é, atinjam o chão exatamente ao término dessa volta).
Passo 2
Entender o tempo de queda vertical (quase a única peça de teoria vertical que precisamos).
- Quando um objeto parte com velocidade vertical inicial nula e cai de uma altura
sob a ação da gravidade, a posição vertical satisfaz
onde
é a altura no instante
. Ao atingir o solo temos
. Assim o tempo de queda
satisfaz
- Resolvendo para
obtemos a fórmula bem conhecida
- Explicando cada símbolo:
-
é o tempo que demora para a bola cair do plano circular até o solo. -
é a altura inicial (aqui ). -
é a aceleração da gravidade ( ).
-
Passo 3
Entender o tempo de uma volta na trajetória circular horizontal (teoria do movimento circular uniforme).
- Se a bola descreve um movimento circular horizontal uniforme de raio
com velocidade tangencial constante , a distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência . - O período
(tempo para uma volta completa) é a razão entre comprimento percorrido e velocidade:
- Explicando os símbolos:
-
é o tempo de uma volta completa. -
é o raio (aqui ). -
é a velocidade tangencial (horizontal) que queremos encontrar.
-
Passo 4
Relacionar os dois tempos (porque o enunciado diz que a bola chega ao solo depois de completar o movimento circular).
- Interpretação prática: “chegar ao solo depois de completar o movimento circular” significa que o tempo que a bola leva para completar uma volta
deve ser igual ao tempo que ela leva para cair até o chão . - Portanto impomos a igualdade
Passo 5
Combinar as fórmulas e isolar
.
- Substituindo as expressões dos passos anteriores:
- Isolando
:
- Esta fórmula dá a velocidade tangencial (horizontal) necessária em termos de
, e . Cada símbolo já foi explicado anteriormente.
Passo 6
Substituir os valores e calcular numericamente (fazendo as contas passo a passo, sem pular etapas).
- Primeiro o tempo de queda:
- O comprimento da circunferência:
- Dividindo para obter a velocidade: