Para movimentos unidimensionais, defina e explique qualitativamente
d) velocidade instantânea;
d) velocidade instantânea;
Passo 1
O enunciado pede que eu defina e explique qualitativamente a noção de velocidade instantânea para movimentos unidimensionais.
Informações dadas: movimento restrito a uma dimensão (posição descrita por uma função do tempo
).
O que se pede: definição precisa e explicação intuitiva/qualitativa do que é velocidade instantânea.
Informações dadas: movimento restrito a uma dimensão (posição descrita por uma função
O que se pede: definição precisa e explicação intuitiva/qualitativa do que é velocidade instantânea.
Passo 2
Começo lembrando um conceito relacionado e mais simples: velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo entre
e
é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Em fórmulas:
Explique: isso diz quão rápido, em média, o objeto mudou de posição durante o intervalo
. Se
é positivo, o objeto foi na direção positiva; se negativo, foi na direção oposta.
Passo 3
Agora a ideia da velocidade instantânea: é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo fica muito pequeno, indo para zero. Formalmente:
Quando esse limite existe, chamamos
de velocidade instantânea no instante
. Esse limite é exatamente a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
Explique o que isso significa: a velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da posição — quanto a posição muda por unidade de tempo exatamente naquele instante.
Passo 4
Interpretação geométrica (visual, muito útil na prova): se você desenhar o gráfico da posição
no eixo vertical versus o tempo
no eixo horizontal, a velocidade instantânea em um instante
é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico em
.
- Se a reta tangente sobe (inclinação positiva),
— movimento no sentido positivo. - Se a reta tangente desce (inclinação negativa),
— movimento no sentido negativo. - Se a reta tangente é horizontal,
— posição momentaneamente estacionária.
Passo 5
Unidades e sinal: a unidade de
é unidade de posição dividida por unidade de tempo (por exemplo,
). O sinal da velocidade indica a direção do movimento ao longo da reta unidimensional. Importante: velocidade instantânea é uma grandeza vetorial (em 1D o “vetor” reduz-se a um número com sinal). A velocidade não confundir com rapidez (speed), que é o valor absoluto
.
Passo 6
Condições de existência: para que
exista é preciso que
seja diferenciável em
. Se
tiver salto discontinuo ou um canto agudo (cusp) no tempo
, a derivada pode não existir e, então, não existe velocidade instantânea bem definida naquele instante. Em linguagem simples: posição precisa variar de modo “suave” perto de
.
Passo 7
Exemplos concretos (faz bem para fixar e para fazer na prova):
- Exemplo 1: se
(movimento retilíneo uniforme), então
Aqui a velocidade instantânea é constante e igual a
(unidades de posição por tempo) em todos os instantes.
- Exemplo 2: se
, então
Assim, a velocidade instantânea depende de
; por exemplo, em
temos
.
Passo 8
Intuição prática: medir velocidade instantânea na prática é aproximá-la medindo deslocamentos em intervalos de tempo muito pequenos e dividindo por esse intervalo — quanto menor o intervalo, mais próximo você fica da velocidade instantânea. Em provas, normalmente você usará a definição de limite ou regras de derivação para obter
. Se o enunciado der a função
, derive; se der um gráfico, ache a inclinação da tangente.
Passo 9
Dica de prova (meu toque de amigo): quando pedirem “defina e explique qualitativamente”, diga a fórmula do limite, explique a interpretação como taxa de variação e como inclinação da tangente, comente sobre o sinal e sobre existência (diferenciabilidade). Use um exemplo simples para ilustrar — isso mostra que você entendeu.
Resposta
A velocidade instantânea em um movimento unidimensional é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo, dada por
ou seja, é a derivada da posição
em relação a
; geometricamente, corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico
versus
, seu sinal indica a direção do movimento e seu valor absoluto é a rapidez.