Para movimentos unidimensionais, defina e explique qualitativamente
d) velocidade instantânea;

Passo 1

O enunciado pede que eu defina e explique qualitativamente a noção de velocidade instantânea para movimentos unidimensionais.
Informações dadas: movimento restrito a uma dimensão (posição descrita por uma função x(t) do tempo t).
O que se pede: definição precisa e explicação intuitiva/qualitativa do que é velocidade instantânea.

Passo 2

Começo lembrando um conceito relacionado e mais simples: velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo entre t e t+\Delta t é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Em fórmulas:
v_{\text{média}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.é
Explique: isso diz quão rápido, em média, o objeto mudou de posição durante o intervalo \Delta t. Se \Delta x é positivo, o objeto foi na direção positiva; se negativo, foi na direção oposta.

Passo 3

Agora a ideia da velocidade instantânea: é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo fica muito pequeno, indo para zero. Formalmente:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.
Quando esse limite existe, chamamos v(t) de velocidade instantânea no instante t. Esse limite é exatamente a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Explique o que isso significa: a velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da posição — quanto a posição muda por unidade de tempo exatamente naquele instante.

Passo 4

Interpretação geométrica (visual, muito útil na prova): se você desenhar o gráfico da posição x no eixo vertical versus o tempo t no eixo horizontal, a velocidade instantânea em um instante t é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico em t.
  • Se a reta tangente sobe (inclinação positiva), v(t)>0 — movimento no sentido positivo.
  • Se a reta tangente desce (inclinação negativa), v(t)<0 — movimento no sentido negativo.
  • Se a reta tangente é horizontal, v(t)=0 — posição momentaneamente estacionária.

Passo 5

Unidades e sinal: a unidade de v(t) é unidade de posição dividida por unidade de tempo (por exemplo, \text{m}\,\text{s}^{-1}). O sinal da velocidade indica a direção do movimento ao longo da reta unidimensional. Importante: velocidade instantânea é uma grandeza vetorial (em 1D o “vetor” reduz-se a um número com sinal). A velocidade não confundir com rapidez (speed), que é o valor absoluto |v(t)|.

Passo 6

Condições de existência: para que v(t)=\dfrac{dx}{dt} exista é preciso que x(t) seja diferenciável em t. Se x(t) tiver salto discontinuo ou um canto agudo (cusp) no tempo t, a derivada pode não existir e, então, não existe velocidade instantânea bem definida naquele instante. Em linguagem simples: posição precisa variar de modo “suave” perto de t.

Passo 7

Exemplos concretos (faz bem para fixar e para fazer na prova):
  • Exemplo 1: se \;x(t)=5t-3\; (movimento retilíneo uniforme), então
v(t)=\frac{d}{dt}(5t-3)=5.
Aqui a velocidade instantânea é constante e igual a 5 (unidades de posição por tempo) em todos os instantes.
  • Exemplo 2: se \;x(t)=t^2\;, então
v(t)=\frac{d}{dt}(t^2)=2t.
Assim, a velocidade instantânea depende de t; por exemplo, em t=3 temos v(3)=2\cdot 3=6.

Passo 8

Intuição prática: medir velocidade instantânea na prática é aproximá-la medindo deslocamentos em intervalos de tempo muito pequenos e dividindo por esse intervalo — quanto menor o intervalo, mais próximo você fica da velocidade instantânea. Em provas, normalmente você usará a definição de limite ou regras de derivação para obter v(t)=dx/dt. Se o enunciado der a função x(t), derive; se der um gráfico, ache a inclinação da tangente.

Passo 9

Dica de prova (meu toque de amigo): quando pedirem “defina e explique qualitativamente”, diga a fórmula do limite, explique a interpretação como taxa de variação e como inclinação da tangente, comente sobre o sinal e sobre existência (diferenciabilidade). Use um exemplo simples para ilustrar — isso mostra que você entendeu.

Resposta

A velocidade instantânea em um movimento unidimensional é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo, dada por
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},
ou seja, é a derivada da posição x(t) em relação a t; geometricamente, corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico x versus t, seu sinal indica a direção do movimento e seu valor absoluto é a rapidez.

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