Use a definição de produto escalar,
, e o fato de que
para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o ângulo entre dois vetores usando a definição do produto escalar
e a fórmula por componentes
.
Dados fornecidos:
O que preciso entregar: o valor do ângulo
entre
e
(em graus e/ou radianos).
Passo 2
Vamos recordar e entender as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Produto escalar por componentes: para
e ,
Isto é simplesmente multiplicar coordenada a coordenada e somar — não tem mistério, é só juntar produtos.
- Relação entre produto escalar e ângulo: se
é o ângulo entre e ,
onde
é o comprimento (magnitude) do vetor
, dado por
Na prova: calcule o produto escalar por componentes, calcule as magnitudes, depois resolva para
e finalmente
.
Passo 3
Calcular o produto escalar por componentes (passo mecânico):
As componentes são e
. Aplicando a fórmula,
As componentes são
Agora multiplicamos cada produto:
Somando:
(É só aritmética — guarda esse
que vai aparecer na fórmula de
.)
Passo 4
Calcular as magnitudes dos vetores:
Para ,
Para
Simplificando
:
Para
,
Logo temos as duas magnitudes explícitas:
e
.
Passo 5
Usar a relação
para isolar
:
Fazer simplificação algébrica:
dividido por
dá
, e
. Assim
Observação útil: podemos ver imediatamente que
o que confirma que
é um número positivo próximo de
(ângulo pequeno).
Passo 6
Passar para valor numérico e encontrar
.
Primeiro aproximamos :
Primeiro aproximamos
Agora aplicamos a função arco cosseno:
Convertendo para unidades usuais: em radianos
e em graus
.
(Dica prática para a prova: se for permitido usar calculadora, deixe a resposta em forma exata ou calcule numericamente como fiz aqui.)
(Dica prática para a prova: se for permitido usar calculadora, deixe a resposta em forma exata
Passo 7
Checagem rápida por intuição (útil quando você está inseguro na prova):
- Os vetores têm componentes parecidas (ambos têm i e j proporcionais e k também próximo), portanto esperamos um ângulo pequeno — confirma-se
. - Se os vetores fossem paralelos,
; aqui é bem próximo de , logo faz sentido.