Use a definição de produto escalar, \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta, e o fato de que \vec{a} \cdot \vec{b}=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z} para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por \vec{a}=3,0 \hat{\mathbf{i}}+ 3,0 \hat{\mathbf{j}}+3,0 \hat{\mathbf{k}} e \vec{b}=2,0 \hat{\mathbf{i}}+2,0 \hat{\mathbf{j}}+3,0 \hat{\mathbf{k}}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o ângulo entre dois vetores usando a definição do produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta e a fórmula por componentes \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Dados fornecidos:
\vec{a} = 3,0\hat{\mathbf{i}} + 3,0\hat{\mathbf{j}} + 3,0\hat{\mathbf{k}}
\vec{b} = 2,0\hat{\mathbf{i}} + 2,0\hat{\mathbf{j}} + 3,0\hat{\mathbf{k}}
O que preciso entregar: o valor do ângulo \theta entre \vec{a} e \vec{b} (em graus e/ou radianos).

Passo 2

Vamos recordar e entender as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Produto escalar por componentes: para \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Isto é simplesmente multiplicar coordenada a coordenada e somar — não tem mistério, é só juntar produtos.
  • Relação entre produto escalar e ângulo: se \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta,
onde |\vec{v}| é o comprimento (magnitude) do vetor \vec{v}, dado por
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Na prova: calcule o produto escalar por componentes, calcule as magnitudes, depois resolva para \cos\theta e finalmente \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 3

Calcular o produto escalar por componentes (passo mecânico):
As componentes são \vec{a}=(3,0,\,3,0,\,3,0) e \vec{b}=(2,0,\,2,0,\,3,0). Aplicando a fórmula,
\vec{a}\cdot\vec{b}=3,0\cdot2,0 + 3,0\cdot2,0 + 3,0\cdot3,0.
Agora multiplicamos cada produto:
3,0\cdot2,0 = 6,0,\qquad 3,0\cdot2,0=6,0,\qquad 3,0\cdot3,0=9,0.
Somando:
\vec{a}\cdot\vec{b}=6,0+6,0+9,0=21,0.
(É só aritmética — guarda esse 21,0 que vai aparecer na fórmula de \cos\theta.)

Passo 4

Calcular as magnitudes dos vetores:
Para \vec{a},
|\vec{a}|=\sqrt{3,0^{2}+3,0^{2}+3,0^{2}}=\sqrt{9,0+9,0+9,0}=\sqrt{27,0}.
Simplificando \sqrt{27,0}:
\sqrt{27,0}=3\sqrt{3}.
Para \vec{b},
|\vec{b}|=\sqrt{2,0^{2}+2,0^{2}+3,0^{2}}=\sqrt{4,0+4,0+9,0}=\sqrt{17,0}.
Logo temos as duas magnitudes explícitas: |\vec{a}|=3\sqrt{3} e |\vec{b}|=\sqrt{17}.

Passo 5

Usar a relação \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta para isolar \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{21,0}{(3\sqrt{3})(\sqrt{17})}.
Fazer simplificação algébrica: 21,0 dividido por 3 7,0, e \sqrt{3}\sqrt{17}=\sqrt{51}. Assim
\cos\theta=\frac{7,0}{\sqrt{51}}.
Observação útil: podemos ver imediatamente que
\cos^2\theta=\frac{49,0}{51,0},
o que confirma que \cos\theta é um número positivo próximo de 1 (ângulo pequeno).

Passo 6

Passar para valor numérico e encontrar \theta.
Primeiro aproximamos \cos\theta:
\cos\theta=\frac{7,0}{\sqrt{51}}\approx 0,9802\quad(\text{aprox.}).
Agora aplicamos a função arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{7,0}{\sqrt{51}}\right).
Convertendo para unidades usuais: em radianos \theta\approx 0,199 e em graus \theta\approx 11,4^\circ.
(Dica prática para a prova: se for permitido usar calculadora, deixe a resposta em forma exata \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{7}{\sqrt{51}}\right) ou calcule numericamente como fiz aqui.)

Passo 7

Checagem rápida por intuição (útil quando você está inseguro na prova):
  • Os vetores têm componentes parecidas (ambos têm i e j proporcionais e k também próximo), portanto esperamos um ângulo pequeno — confirma-se \approx 11,4^\circ.
  • Se os vetores fossem paralelos, \cos\theta=1; aqui \cos\theta\approx0,98 é bem próximo de 1, logo faz sentido.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{7,0}{\sqrt{51}}\right)\approx 11,4^\circ\\ \left(\approx 0,199\\ \text{rad}\right)

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