[Mudança de escala] Se 
  e 
  for uma constante positiva qualquer, verifique que
 
Utilize isto para obter 
  de 
 
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função 
  cuja transformada de Laplace é 
 . O exercício nos apresenta uma propriedade de mudança de escala para a transformada de Laplace e nos pede para verificar essa propriedade. Além disso, devemos usar essa propriedade para encontrar a transformada de Laplace de 
  usando a transformada de 
 .
Para resolver isso, precisaremos entender a propriedade de mudança de escala da transformada de Laplace e conhecer a transformada de 
 .
Passo 2
Vamos começar verificando a propriedade de mudança de escala que o exercício nos dá:
Aqui, 
  é uma constante positiva qualquer, e 
  é a transformada de Laplace de 
 .
Essa propriedade nos mostra como a transformada de Laplace se comporta quando a função original é “esticada” ou “comprimida” por um fator 
 .
Passo 3
Para verificar essa propriedade, vamos usar a definição da transformada de Laplace:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja 
 , então 
  ou 
 . Quando 
 , 
 , e quando 
 , 
 .
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Observamos que a integral resultante é a definição da transformada de Laplace de 
  com 
  substituído por 
 :
Portanto, mostramos que:
Isso confirma a propriedade de mudança de escala apresentada no enunciado.
Passo 6
Agora, vamos aplicar essa propriedade para encontrar 
  usando 
 .
Sabemos que:
Aqui, 
  é a transformada de 
 .
Passo 7
Para encontrar 
 , identificamos que 
  e 
 . Aplicando a propriedade de mudança de escala:
Substituindo 
 :
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agora, multiplicamos por 
 :