Muitas molas reais podem ser esticadas mais facilmente do que comprimidas. Podemos tratar este problema usando valores diferentes para a constante elástica da mola para quando x<0 e para x>0.
Considere que para uma determinada mola temos que F=-k x para x>0 e F=-2 k x para x<0. Um corpo de massa m é preso a esta mola e o conjunto é colocado horizontalmente sobre uma superfície sem atrito. O corpo é deslocado de forma estender a mola de x=A e então solto com velocidade nula.
Ache o período do movimento.

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar o movimento de um corpo preso a uma mola que se comporta de forma diferente quando esticada e comprimida. O assunto principal aqui é Oscilações Harmônicas na Física, mais especificamente sistemas massa-mola com constantes elásticas distintas para esticagem e compressão. Para resolver, precisaremos aplicar a segunda lei de Newton e as fórmulas referentes ao período de oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas na mola. A força exercida pela mola é descrita por:
F = - k x & para x > 0 - 2k x & para x < 0
Isso significa que a constante elástica da mola é k quando a mola é esticada ( x > 0) e 2k quando é comprimida ( x < 0).

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton, que relaciona força ( F), massa ( m) e aceleração ( a):
F = m a
Sendo a aceleração a segunda derivada da posição em relação ao tempo, mas para oscilações harmônicas, podemos relacioná-la diretamente com a frequência angular ( omega).

Passo 4

Para uma mola com força F = -k x, a frequência angular é:
omega = raizkm
E o período ( T) da oscilação é:
T = 2pi raizmk

Passo 5

No entanto, aqui temos duas constantes elásticas diferentes: k para x > 0 e 2k para x < 0. Portanto, teremos duas frequências angulares distintas:
  • Para x > 0:
omega1 = raizkm
  • Para x < 0:
omega2 = raiz2km

Passo 6

O período total do movimento será a soma dos tempos em cada metade da oscilação. Cada trecho corresponde a uma metade do ciclo completo.
Portanto:
T = T1 + T2
Onde:
T1 = piomega1
T2 = piomega2

Passo 7

Substituindo os valores de omega1 e omega2:
T1 = piraizkm = pi raizmk
T2 = piraiz2km = pi raizm2k

Passo 8

Somando os dois períodos:
T = pi raizmk + pi raizm2k
T = pi raizmk (1 + 1raiz2 )

Passo 9

Simplificando a expressão:
T = pi raizmk (1 + 1raiz2 ) approx pi raizmk times 1.707

Resposta

O período do movimento é dado por:
T = pi raizmk (1 + 1raiz2 )

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