(Berkeley) Uma cuba de comprimento 2L é preenchida com água até uma altura h. O líquido, inicialmente em repouso, é colocado para oscilar de forma que nas bordas se afaste da posição de equilíbrio de
, como indicado na figura.
Calcule a energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa.
Calcule a energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre um líquido em um recipiente que está oscilando. A gente precisa calcular a energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica dos fluidos, além de entender como a energia potencial está relacionada ao deslocamento do líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o recipiente com comprimento total de
e cheio até uma altura
de água. Quando o líquido está em equilíbrio, o centro de massa está no meio, ou seja, na altura
. Mas quando oscila, as bordas se afastam da posição de equilíbrio por uma distância
, fazendo o centro de massa se mover para cima ou para baixo.
Passo 3
Vamos considerar que o deslocamento das bordas provoca uma variação na altura do líquido em relação ao seu ponto de equilíbrio. Esse deslocamento gera uma variação na energia potencial armazenada devido à mudança na posição do centro de massa.
Passo 4
A energia potencial (
) relacionada à altura do centro de massa pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é a massa do líquido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a variação na altura do centro de massa.
Passo 5
Vamos calcular a massa do líquido. Sabemos que a massa é dada por:
onde:
-
é a densidade da água, -
é o volume do líquido.
O volume
do recipiente é:
onde
é a área da base do recipiente. Como não foi fornecida uma área específica, assumiremos que
é constante e será cancelada na relação final.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a variação na altura do centro de massa (
) devido ao deslocamento
. Quando as bordas se afastam por
, o centro de massa sobe ou desce proporcionalmente. A relação entre
e
depende da geometria do movimento, mas para pequenas oscilações, podemos aproximar que:
Passo 7
Substituindo
na fórmula da energia potencial:
Passo 8
Substituindo
pela expressão
:
Passo 9
Agora, substituímos o volume
:
Passo 10
Simplificando a expressão, os 2 cancelam:
Passo 11
Como a área
é constante e não afeta a relação final entre a energia potencial e o deslocamento, podemos expressar a energia potencial em função da posição do centro de massa como:
Resposta
A energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa é: