(Berkeley) Uma cuba de comprimento 2L é preenchida com água até uma altura h. O líquido, inicialmente em repouso, é colocado para oscilar de forma que nas bordas se afaste da posição de equilíbrio de varepsilon, como indicado na figura.
Calcule a energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre um líquido em um recipiente que está oscilando. A gente precisa calcular a energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica dos fluidos, além de entender como a energia potencial está relacionada ao deslocamento do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o recipiente com comprimento total de 2L e cheio até uma altura h de água. Quando o líquido está em equilíbrio, o centro de massa está no meio, ou seja, na altura h. Mas quando oscila, as bordas se afastam da posição de equilíbrio por uma distância varepsilon, fazendo o centro de massa se mover para cima ou para baixo.

Passo 3

Vamos considerar que o deslocamento das bordas provoca uma variação na altura do líquido em relação ao seu ponto de equilíbrio. Esse deslocamento gera uma variação na energia potencial armazenada devido à mudança na posição do centro de massa.

Passo 4

A energia potencial ( U) relacionada à altura do centro de massa pode ser calculada pela fórmula:
U = m cdot g cdot De
onde:
  • m é a massa do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • De é a variação na altura do centro de massa.

Passo 5

Vamos calcular a massa do líquido. Sabemos que a massa é dada por:
m = rho cdot V
onde:
  • rho é a densidade da água,
  • V é o volume do líquido.
O volume V do recipiente é:
V = 2L cdot A cdot h
onde A é a área da base do recipiente. Como não foi fornecida uma área específica, assumiremos que A é constante e será cancelada na relação final.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a variação na altura do centro de massa ( De) devido ao deslocamento varepsilon. Quando as bordas se afastam por varepsilon, o centro de massa sobe ou desce proporcionalmente. A relação entre De e varepsilon depende da geometria do movimento, mas para pequenas oscilações, podemos aproximar que:
De

Passo 7

Substituindo De na fórmula da energia potencial:
U = m cdot g cdot varepsilon2

Passo 8

Substituindo m pela expressão rho cdot V:
U = rho cdot V cdot g cdot varepsilon2

Passo 9

Agora, substituímos o volume V:
U = rho cdot (2L cdot A cdot h) cdot g cdot varepsilon2

Passo 10

Simplificando a expressão, os 2 cancelam:
U = rho cdot L cdot A cdot h cdot g cdot varepsilon

Passo 11

Como a área A é constante e não afeta a relação final entre a energia potencial e o deslocamento, podemos expressar a energia potencial em função da posição do centro de massa como:
U = rho cdot L cdot g cdot h cdot varepsilon

Resposta

A energia potencial do líquido em função da posição do centro de massa é:
U = rho L g h varepsilon

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