Os múons criados pelos raios cósmicos na atmosfera superior caem mais ou menos uniformemente sobre a superfície da Terra, embora alguns deles decaiam em seu caminho para baixo, com uma meia-vida de cerca de
(medido em seus referenciais de repouso). Um detector de múons é transportado por um balão a uma altitude de 2000 m e ao longo do trajeto de uma hora detecta 650 múons viajando com
em direção à Terra. Se um detector idêntico permanece ao nível do mar, quantos múons ele deve registrar em uma hora? Calcule a resposta levando em consideração a dilatação temporal relativística e classicamente. (Lembre-se de que, depois de
meias-vidas,
das partículas originais sobrevivem.) Não precisamos afirmar que a resposta relativística está de acordo com experimentos. R: 420
Passo 1
O enunciado trata do decaimento de múons com meia-vida própria de
. Um detector a
,m de altitude registra
múons que chegam com velocidade
. Queremos calcular quantos chegam ao nível do mar em uma hora, levando em conta (a) a dilatação temporal relativística e (b) de forma clássica (sem dilatação). Usaremos:
. Tempo de voo no referencial da Terra:
.
. Fator de Lorentz:
com
.
. Tempo próprio do múon:
.
. Fração que sobrevive:
, onde
.
. Número detectado ao nível do mar:
.
Passo 2
Calcular o tempo de voo no referencial da Terra:
Passo 3
Determinar o fator de dilatação de tempo
:
Passo 4
Encontrar o tempo próprio do múon (duração do voo no referencial do múon):
Passo 5
Calcular quantas meias-vidas cabem nesse tempo próprio:
A fração de múons que sobrevive é
.
Passo 6
Frações de múons sobreviventes (relativístico):
Portanto, o número detectado ao nível do mar é
Passo 7
Análise clássica (sem dilatação): assume-se que o múon “vê” todo o tempo de voo igual ao do laboratório, ou seja,
. Então
Logo,
Resposta
Relativisticamente, o detector ao nível do mar registra cerca de
múons em uma hora.
Clássicamente (sem dilatação), registraria cerca de múons em uma hora.
Clássicamente (sem dilatação), registraria cerca de