Os múons criados pelos raios cósmicos na atmosfera superior caem mais ou menos uniformemente sobre a superfície da Terra, embora alguns deles decaiam em seu caminho para baixo, com uma meia-vida de cerca de 1,5 \mu \mathrm{~s} (medido em seus referenciais de repouso). Um detector de múons é transportado por um balão a uma altitude de 2000 m e ao longo do trajeto de uma hora detecta 650 múons viajando com 0,99 c em direção à Terra. Se um detector idêntico permanece ao nível do mar, quantos múons ele deve registrar em uma hora? Calcule a resposta levando em consideração a dilatação temporal relativística e classicamente. (Lembre-se de que, depois de n meias-vidas, 2^{-n} das partículas originais sobrevivem.) Não precisamos afirmar que a resposta relativística está de acordo com experimentos. R: 420

Passo 1

O enunciado trata do decaimento de múons com meia-vida própria de \tau_{1/2}=1,5\,\mu\text{s}. Um detector a 2000,m de altitude registra 650 múons que chegam com velocidade v=0,99\,c. Queremos calcular quantos chegam ao nível do mar em uma hora, levando em conta (a) a dilatação temporal relativística e (b) de forma clássica (sem dilatação). Usaremos:
1. Tempo de voo no referencial da Terra: t_{\text{lab}}=h/v.
2. Fator de Lorentz: \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} com \beta=v/c.
3. Tempo próprio do múon: t_{\text{próprio}}=t_{\text{lab}}/\gammaó.
4. Fração que sobrevive: 2^{-n}, onde n=t_{\text{próprio}}/\tau_{1/2}ó.
5. Número detectado ao nível do mar: 650\times2^{-n}.

Passo 2

Calcular o tempo de voo no referencial da Terra:
t_{\text{lab}} = \frac{h}{v} = \frac{2000\,\text{m}}{0{,}99\,c} \approx \frac{2000}{0{,}99\times3{,}0\times10^8}\,\text{s} \approx6{,}73\times10^{-6}\,\text{s} =6{,}73\,\mu\text{s}.

Passo 3

Determinar o fator de dilatação de tempo \gamma:
\beta = 0{,}99,\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}99^2}} \approx7{,}09.

Passo 4

Encontrar o tempo próprio do múon (duração do voo no referencial do múon):
t_{\text{próprio}} = \frac{t_{\text{lab}}}{\gamma} = \frac{6{,}73\,\mu\text{s}}{7{,}09} \approx0{,}95\,\mu\text{s}.ó

Passo 5

Calcular quantas meias-vidas cabem nesse tempo próprio:
n = \frac{t_{\text{próprio}}}{\tau_{1/2}} = \frac{0{,}95\,\mu\text{s}}{1{,}5\,\mu\text{s}} \approx0{,}63.ó
A fração de múons que sobrevive é 2^{-n}.

Passo 6

Frações de múons sobreviventes (relativístico):
f_{\text{rel}} = 2^{-0{,}63} \approx e^{-0{,}63\ln2} \approx0{,}65.
Portanto, o número detectado ao nível do mar é
N_{\text{rel}} =650\times f_{\text{rel}} \approx650\times0{,}65 \approx420.

Passo 7

Análise clássica (sem dilatação): assume-se que o múon “vê” todo o tempo de voo igual ao do laboratório, ou seja, t_{\text{próprio,\,cl}}=t_{\text{lab}}=6{,}73\,\mu\text{s}ó. Então
n_{\text{cl}} = \frac{6{,}73\,\mu\text{s}}{1{,}5\,\mu\text{s}} \approx4{,}49, \quad f_{\text{cl}} =2^{-4{,}49} \approx0{,}045.
Logo,
N_{\text{cl}} =650\times0{,}045 \approx29.

Resposta

Relativisticamente, o detector ao nível do mar registra cerca de 420 múons em uma hora.
Clássicamente (sem dilatação), registraria cerca de 29 múons em uma hora.

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