O píon ( \pi+ ou \pi-) é uma partícula instável que decai com uma meia-vida própria de 1,8 \times 10^{-8} \mathrm{~s}. (Esta é a meia-vida medida no referencial de repouso do píon.) (a) Qual é a meia-vida do píon medida em um referencial S onde ele está viajando com 0,80 c ? (b) Se 32000 píons são criados no mesmo local, todos viajando com esta velocidade, quantos irão permanecer depois de eles terem viajado em um tubo com vácuo de comprimento \mathrm{d}= 36 m ? Lembre-se de que, depois n meias-vidas, 2^{-n} das partículas originais sobrevivem. (c) Qual teria sido a resposta se você tivesse ignorado a dilatação do tempo? (Naturalmente, é a resposta (b) que está de acordo com experimentos.) R : (a) \Delta t=3,8 \times 10^{-8} \mathrm{~s} (b) N=1000 (c) N=100

Passo 1

O enunciado diz que um píon tem meia‐vida própria (no seu referencial de repouso) \Delta t_0 = 1,8 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}. Ele se move em S com velocidade v=0{,}80\,c e viaja por um tubo de comprimento d=36\,\mathrm{m}.
Conteúdo necessário:
– Relatividade especial (dilatação do tempo),
– Decaimento exponencial e meia‐vida (fração sobrevivente 2^{-n} após n meias‐vidas).

Passo 2

Em relatividade, o intervalo de tempo medido no referencial do laboratório é dilatado:
\Delta t = \gamma\,\Delta t_0,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz.

Passo 3

Vamos calcular \gamma e depois \Delta t:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}80)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = 1{,}6667
\Delta t = 1{,}6667 \times 1{,}8\times 10^{-8}\,\mathrm{s} = 3{,}0\times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

Passo 4

No referencial do laboratório, o tempo que o píon leva para percorrer d=36\,\mathrm{m} é
t_{\rm lab} = \frac{d}{v} = \frac{36}{0{,}80\times 3{,}0\times10^8}\,\mathrm{s} = 1{,}5\times10^{-7}\,\mathrm{s}.
Como, após n meias‐vidas, a fração restante é 2^{-n} com
n = \frac{t_{\rm lab}}{\Delta t},
o número de píons sobreviventes começando de N_0=32000 é
N = 32000 \times 2^{-\frac{1{,}5\times10^{-7}}{3{,}0\times10^{-8}}} = 32000 \times 2^{-5} = 32000 \times \frac{1}{32} = 1000.

Passo 5

Ignorando dilatação do tempo, usaríamos \Delta t_0 em vez de \Delta t. Então
n' = \frac{t_{\rm lab}}{\Delta t_0} = \frac{1{,}5\times10^{-7}}{1{,}8\times10^{-8}} \approx 8{,}33
e
N' = 32000 \times 2^{-8{,}33} \approx 100.

Resposta

(a) \Delta t = 3,0\times10^{-8}\,\mathrm{s}
(b) N = 1000
(c) N' \approx 100

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