(n) O raio de convergência da série da série é infinito.
Passo 1
Então, a gente tem uma série de potências dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão envolve calcular o limite de quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, precisamos usar outro teste.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Simplificando, temos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1(3 x-5)^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2 cdot 2^2n(n!)^2(-1)^n(3 x-5)^2n |
Como = limn to infty | (3 x-5)^22^2 (n+1)^2 | = limn to infty (3 x-5)^24 (n+1)^2 cresce muito mais rápido que (n+1)^2, o limite desse quociente tende a (3x-5)^2.
Passo 4
Como o limite encontrado é 0, que é menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de x. Portanto, o raio de convergência é infinito.