Para f(x, y) = x * y^2 + y * e^x, calcule a derivada direcional em 0,1 na direção do mais rápido crescimento de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do crescimento mais rápido dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes, que nos mostram a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ele aponta na direção do maior aumento da função.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A direção do crescimento mais rápido da função �� a direção do gradiente. Para calcular a derivada direcional nessa direção, precisamos primeiro normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformar em um vetor unitário.
O comprimento (ou norma) do gradiente é:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de em na direção do crescimento mais rápido é .

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