Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam
números reais. O domínio da função
é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
a.
, se
e
e
b. Nenhuma das outras alternativas está correta
c. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e
d. Um conjunto conexo diferente de
, se
e
e
e. O conjunto vazio, se
e
e
e
e
f. A união disjunta de três conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e
Vale 1,00 ponto(s).
Sejam
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais alternativas estão corretas sobre o domínio da função
Informações relevantes dadas (cada alternativa fixa certos parâmetros):
- Alternativa (a):
, , . Afirma que o domínio é . - Alternativa (b): afirma que nenhuma das outras alternativas está correta.
- Alternativa (c):
, , , , . Afirma que o domínio é a união disjunta de dois conjuntos conexos não conectados entre si. - Alternativa (d):
, , . Afirma que o domínio é um conjunto conexo diferente de . - Alternativa (e): mesmas hipóteses de (c) e afirma que o domínio é o conjunto vazio.
- Alternativa (f):
, , , , . Afirma que o domínio é a união disjunta de três conjuntos conexos não conectados entre si.
Passo 2
Condição geral para
pertencer ao domínio de
:
e
Isso se trata de uma desigualdade de sinal de uma razão. Separando pelos sinais do denominador:
- Se
então é preciso . - Se
então é preciso . - Se
o ponto é proibido (denominador zero), mesmo que o numerador seja zero.
Observação útil: chamarei o numerador de
e o denominador de
.
Passo 3
Análise do sinal do polinômio quadrático
.
Defina o discriminante
Defina o discriminante
Casos:
- Se
: não tem raízes reais e então mantém o sinal de para todo . Ou seja, se então para todo ; se então para todo . - Se
: tem raiz dupla ; então tem sinal de exceto que . - Se
: tem duas raízes reais . Como é quadrática com coeficiente , temos: -
para e se (positivo fora do intervalo entre raízes) e para . - Se
, os sinais se invertem (positivo entre as raízes, negativo fora).
-
Esses fatos são padrão sobre quadráticas: o coeficiente
controla se a parábola abre para cima (
) ou para baixo (
), e
controla existência de raízes reais.
Passo 4
Análise do denominador
.
- Se
: para cada fixo, variando a expressão é uma função afim de que toma valores positivos e negativos (vai a e quando ), logo a desigualdade ou define metades de planos delimitadas pela reta . Geometricamente, é uma reta no plano; e são os dois semi-planos abertos separados por essa reta. - Se
: então independe de . Nesse caso o sinal do denominador depende apenas de : para na região onde todos os são permitidos quanto ao sinal do denominador (mas ainda há a condição do numerador), e para idem para sinal negativo. Se ainda e então é constante (não depende de ); se então o denominador tem sinal fixo em todo o plano.
Passo 5
Análise da alternativa (a): hipóteses
(ou seja
),
e
.
- Pela Passo 3, como
e , temos para todo (o numerador é estritamente negativo, nunca zero). - Como
, para cada existem com positivo e outros com negativo; geometricamente é um semi-plano aberto (um dos lados de uma reta). - Para que a razão seja
com numerador sempre negativo é necessário que (denominador também negativo). Logo o domínio é exatamente o semi-plano onde (excluindo a reta porque nela o denominador é zero). - Esse semi-plano aberto não é todo
, é apenas metade do plano (é um conjunto conexo, mas distinto de ).
Conclusão: a alternativa (a) que afirmava que o domínio éestá incorreta.
Passo 6
Análise da alternativa (d): hipóteses idênticas a (a):
,
,
.
- Do raciocínio do Passo 5 o domínio é o semi-plano aberto
. - Esse conjunto é conexo (meio-plano aberto) e não coincide com
.
Conclusão: a alternativa (d) está correta.
Passo 7
Análise das alternativas (c) e (e): hipóteses
(
),
,
,
,
.
- Com
e temos , constante. Como dado , o denominador é negativo em todo o plano e nunca zero. - Como
e , o polinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo no intervalo entre as raízes; em particular existe um intervalo fechado onde . - Para a razão ser
com denominador negativo, precisamos de . Logo o domínio é
ou seja, uma faixa vertical (um “strip”) de largura
, que é conectada (produto do intervalo conectado
com
).
- A alternativa (c) dizia que o domínio era a união disjunta de dois conjuntos conexos — isso é falso: o domínio é um único conjunto conexo (o strip). A alternativa (e) dizia que o domínio era vazio — também falso (o strip existe).
Conclusão: (c) e (e) estão incorretas.
Passo 8
Análise da alternativa (f): hipóteses
,
,
,
,
.
- Como
, , temos novamente constante e por hipótese (denominador positivo e não zero). - Como
e , o numerador para todo . - Com numerador positivo e denominador positivo a razão é sempre positiva, logo
para todo , e a raiz quadrada é bem definida em todo o plano. - Portanto o domínio é
, que é um conjunto conectado único, não uma união de três componentes desconexas.
Conclusão: (f) está incorreta.
Passo 9
Resumo lógico e verificação da alternativa (b):
- Encontramos que exatamente a alternativa (d) é verdadeira.
- Assim a alternativa (b) que dizia “Nenhuma das outras alternativas está correta” é falsa.
Resposta
d.