Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam a, b, c, d, e, f números reais. O domínio da função F(x, y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}} é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
\square a. \mathbb{R}^{2}, se b^{2}<4 a c e a<0 e d \neq 0
\square b. Nenhuma das outras alternativas está correta
\square c. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}>4 a c e a>0 e d=0 e e=0 e f<0
\square d. Um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^{2}, se b^{2}<4 a c e a<0 e d \neq 0
\square e. O conjunto vazio, se b^{2}>4 a c e a>0 e d=0 e e=0 e f<0
\square f. A união disjunta de três conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}<4 a c e a>0 e d=0 e e=0 e f>0

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais alternativas estão corretas sobre o domínio da função
F(x,y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}}.
Informações relevantes dadas (cada alternativa fixa certos parâmetros):
  • Alternativa (a): b^{2}<4ac, a<0, d\neq 0. Afirma que o domínio é \mathbb{R}^2.
  • Alternativa (b): afirma que nenhuma das outras alternativas está correta.
  • Alternativa (c): b^{2}>4ac, a>0, d=0, e=0, f<0. Afirma que o domínio é a união disjunta de dois conjuntos conexos não conectados entre si.
  • Alternativa (d): b^{2}<4ac, a<0, d\neq 0. Afirma que o domínio é um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^2.
  • Alternativa (e): mesmas hipóteses de (c) e afirma que o domínio é o conjunto vazio.
  • Alternativa (f): b^{2}<4ac, a>0, d=0, e=0, f>0. Afirma que o domínio é a união disjunta de três conjuntos conexos não conectados entre si.

Passo 2

Condição geral para (x,y) pertencer ao domínio de F:
\text{denom} := d y + e x + f \neq 0
e
\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f} \ge 0.
Isso se trata de uma desigualdade de sinal de uma razão. Separando pelos sinais do denominador:
  • Se d y+e x+f>0 então é preciso a x^{2}+b x+c \ge 0.
  • Se d y+e x+f<0 então é preciso a x^{2}+b x+c \le 0.
  • Se d y+e x+f=0 o ponto é proibido (denominador zero), mesmo que o numerador seja zero.
Observação útil: chamarei o numerador de q(x)=a x^{2}+b x+c e o denominador de L(x,y)=d y+e x+f.

Passo 3

Análise do sinal do polinômio quadrático q(x)=a x^{2}+b x+c.
Defina o discriminante
\Delta := b^{2}-4ac.
Casos:
  • Se \Delta<0: q(x) não tem raízes reais e então mantém o sinal de a para todo x. Ou seja, se a>0 então q(x)>0 para todo x; se a<0 então q(x)<0 para todo x.
  • Se \Delta=0: q tem raiz dupla x_0=-\dfrac{b}{2a}; então q(x) tem sinal de a exceto que q(x_0)=0.
  • Se \Delta>0: q tem duas raízes reais x_1<x_2. Como é quadrática com coeficiente a, temos:
    • q(x)>0 para x<x_1 e x>x_2 se a>0 (positivo fora do intervalo entre raízes) e q(x)<0 para x_1<x<x_2.
    • Se a<0, os sinais se invertem (positivo entre as raízes, negativo fora).
Esses fatos são padrão sobre quadráticas: o coeficiente a controla se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0), e \Delta controla existência de raízes reais.

Passo 4

Análise do denominador L(x,y)=d y+e x+f.
  • Se d\neq 0: para cada x fixo, variando y a expressão é uma função afim de y que toma valores positivos e negativos (vai a +\infty e -\infty quando y\to\pm\infty), logo a desigualdade L(x,y)<0 ou L(x,y)>0 define metades de planos delimitadas pela reta d y+e x+f=0. Geometricamente, L(x,y)=0 é uma reta no plano; L<0 e L>0 são os dois semi-planos abertos separados por essa reta.
  • Se d=0: então L(x,y)=e x+f independe de y. Nesse caso o sinal do denominador depende apenas de x: para x na região onde e x+f>0 todos os y são permitidos quanto ao sinal do denominador (mas ainda há a condição do numerador), e para e x+f<0 idem para sinal negativo. Se ainda d=0 e e=0 então L=f é constante (não depende de x,y); se f\neq 0 então o denominador tem sinal fixo em todo o plano.

Passo 5

Análise da alternativa (a): hipóteses \Delta<0 (ou seja b^{2}<4ac), a<0 e d\neq 0.
  • Pela Passo 3, como \Delta<0 e a<0, temos q(x)<0 para todo x (o numerador é estritamente negativo, nunca zero).
  • Como d\neq 0, para cada x existem y com L(x,y) positivo e outros y com L(x,y) negativo; geometricamente L(x,y)<0 é um semi-plano aberto (um dos lados de uma reta).
  • Para que a razão seja \ge 0 com numerador sempre negativo é necessário que L(x,y)<0 (denominador também negativo). Logo o domínio é exatamente o semi-plano onde L(x,y)<0 (excluindo a reta L=0 porque nela o denominador é zero).
  • Esse semi-plano aberto não é todo \mathbb{R}^2, é apenas metade do plano (é um conjunto conexo, mas distinto de \mathbb{R}^2).
    Conclusão: a alternativa (a) que afirmava que o domínio é \mathbb{R}^2 está incorreta.

Passo 6

Análise da alternativa (d): hipóteses idênticas a (a): \Delta<0, a<0, d\neq 0.
  • Do raciocínio do Passo 5 o domínio é o semi-plano aberto \{(x,y):d y+e x+f<0\}.
  • Esse conjunto é conexo (meio-plano aberto) e não coincide com \mathbb{R}^2.
    Conclusão: a alternativa (d) está correta.

Passo 7

Análise das alternativas (c) e (e): hipóteses \Delta>0 ( b^{2}>4ac), a>0, d=0, e=0, f<0.
  • Com d=0 e e=0 temos L(x,y)=f, constante. Como dado f<0, o denominador é negativo em todo o plano e nunca zero.
  • Como a>0 e \Delta>0, o polinômio q(x) é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo no intervalo entre as raízes; em particular existe um intervalo fechado [x_1,x_2] onde q(x)\le 0.
  • Para a razão ser \ge 0 com denominador negativo, precisamos de q(x)\le 0. Logo o domínio é
\{(x,y): x\in [x_1,x_2],\\ y\in\mathbb{R}\},
ou seja, uma faixa vertical (um “strip”) de largura x_2-x_1, que é conectada (produto do intervalo conectado [x_1,x_2] com \mathbb{R}).
  • A alternativa (c) dizia que o domínio era a união disjunta de dois conjuntos conexos — isso é falso: o domínio é um único conjunto conexo (o strip). A alternativa (e) dizia que o domínio era vazio — também falso (o strip existe).
    Conclusão: (c) e (e) estão incorretas.

Passo 8

Análise da alternativa (f): hipóteses \Delta<0, a>0, d=0, e=0, f>0.
  • Como d=0, e=0, temos novamente L(x,y)=f constante e f>0 por hipótese (denominador positivo e não zero).
  • Como \Delta<0 e a>0, o numerador q(x)>0 para todo x.
  • Com numerador positivo e denominador positivo a razão é sempre positiva, logo \frac{q(x)}{L(x,y)}>0 para todo (x,y), e a raiz quadrada é bem definida em todo o plano.
  • Portanto o domínio é \mathbb{R}^2, que é um conjunto conectado único, não uma união de três componentes desconexas.
    Conclusão: (f) está incorreta.

Passo 9

Resumo lógico e verificação da alternativa (b):
  • Encontramos que exatamente a alternativa (d) é verdadeira.
  • Assim a alternativa (b) que dizia “Nenhuma das outras alternativas está correta” é falsa.

Resposta

d.

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