Questão 13

Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função duas vezes diferenciável com f^{\prime \prime}(x) \neq 0, h(x, y)=6 x^{2}+7 y^{2} \mathrm{e} u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é dada pela função composta u=f \circ h.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
\square a. \quad u_{x x} / 12-u_{y y} / 14=0, para todo x, y \in \mathbb{R}
\square b. u_{x x}+u_{y y}=u_{x} / x+u_{y} / y+4\left(36 x^{2}+49 y^{2}\right) \cdot\left(f^{\prime \prime} \circ h\right), sempre que x \neq 0, y \neq 0
\square c. \quad u_{x x}+u_{y y}=u_{x} / x+u_{y} / y, sempre que x \neq 0, y \neq 0
\square d. Se f^{\prime}(13) \neq 0, então o vetor \left(12,14,-1 / f^{\prime}(13)\right), é normal ao plano tangente ao gráfico de u pelo ponto de coordenadas (1,1, u(1,1))
\square e. A derivada direcional D_{\vec{n}} u(1,1) é nula se \vec{n} é o vetor unitário na direção de -7 \vec{i}+6 \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas vezes diferenciável com f''(x)\neq0, h(x,y)=6x^{2}+7y^{2} e u=f\circ h, isto é u(x,y)=f(h(x,y))=f(6x^{2}+7y^{2}).
A tarefa é analisar cada alternativa (a) a (e) e decidir quais são verdadeiras. Lista das informações relevantes do enunciado: h_x, h_y podem ser obtidos a partir de h; as derivadas de u usam a regra da cadeia; para afirmações que usam divisão por x ou y há a condição implícita x\neq0 ou y\neq0; o valor de h(1,1) será útil nas alternativas (d) e (e).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras de u. Lembrete didático: a regra da cadeia para uma composição u(x,y)=f(h(x,y)) diz que \partial u/\partial x = f'(h(x,y))\cdot \partial h/\partial x (e análogo para y). Primeiro obtenho as derivadas de h:
h_x=\frac{\partial}{\partial x}(6x^{2}+7y^{2})=12x,\qquad h_y=\frac{\partial}{\partial y}(6x^{2}+7y^{2})=14y.
Logo, usando a regra da cadeia,
u_x=f'(h)\,h_x=f'(h)\cdot 12x=12x\,(f'\circ h),
u_y=f'(h)\,h_y=f'(h)\cdot 14y=14y\,(f'\circ h).
Aqui escrevo f'(h) como (f'\circ h)(x,y) quando quiser lembrar que é avaliado em h(x,y).

Passo 3

Calcular as derivadas segundas u_{xx} e u_{yy}. Lembrete didático: para derivar um produto como 12x\cdot f'(h(x,y)) uso a regra do produto e, ao derivar f'(h(x,y)), aplico novamente a regra da cadeia (aparece f''\cdot h_x). Faço u_x=12x\cdot f'(h) e então
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(12x\cdot f'(h)\big) =12\cdot f'(h) + 12x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(f'(h)\big).
Como \frac{\partial}{\partial x}(f'(h))=f''(h)\cdot h_x = f''(h)\cdot 12x, obtemos
u_{xx}=12 f'(h) + 12x\cdot\big(f''(h)\cdot 12x\big) =12 f'(h) + 144 x^{2} f''(h).
De forma inteiramente análoga para u_y=14y\cdot f'(h):
u_{yy}=14 f'(h) + 14y\cdot\big(f''(h)\cdot 14y\big) =14 f'(h) + 196 y^{2} f''(h).

Passo 4

Verifico a alternativa (a): ela afirma que \;u_{xx}/12 - u_{yy}/14 = 0 para todo x,y. Calculo a expressão usando os resultados do passo anterior:
\frac{u_{xx}}{12}=\frac{12 f'(h) + 144 x^{2} f''(h)}{12}=f'(h)+12 x^{2} f''(h),
\frac{u_{yy}}{14}=\frac{14 f'(h) + 196 y^{2} f''(h)}{14}=f'(h)+14 y^{2} f''(h).
Subtraindo,
\frac{u_{xx}}{12}-\frac{u_{yy}}{14}=(f'(h)+12 x^{2} f''(h))-(f'(h)+14 y^{2} f''(h))=(12 x^{2}-14 y^{2})f''(h).
Isto não é identicamente zero para todos x,y (por exemplo, escolha x=1,y=0 12 f''(6)\neq0 porque f''\neq0 por hipótese). Portanto (a) é falsa.

Passo 5

Verifico a alternativa (b): ela afirma que, sempre que x\neq0 e y\neq0,
u_{xx}+u_{yy}=\frac{u_x}{x}+\frac{u_y}{y}+4\big(36x^{2}+49y^{2}\big)\cdot (f''\circ h).
Calculo o lado esquerdo com as expressões do passo 3:
u_{xx}+u_{yy}=(12 f'(h)+144 x^{2} f''(h))+(14 f'(h)+196 y^{2} f''(h)) =26 f'(h) + (144 x^{2}+196 y^{2}) f''(h).
Agora o termo \dfrac{u_x}{x}+\dfrac{u_y}{y} (a condição x\neq0,y\neq0 é só para permitir tais divisões) é
\frac{u_x}{x}+\frac{u_y}{y}=\frac{12x f'(h)}{x}+\frac{14y f'(h)}{y}=12 f'(h)+14 f'(h)=26 f'(h).
Portanto
u_{xx}+u_{yy}=\frac{u_x}{x}+\frac{u_y}{y}+(144 x^{2}+196 y^{2}) f''(h).
Mas note que 4(36x^{2}+49y^{2})=4\cdot 36x^{2}+4\cdot 49y^{2}=144x^{2}+196y^{2}. Assim a igualdade proposta em (b) é exatamente a que encontramos. Conclusão: (b) é verdadeira (a condição x\neq0,y\neq0 é necessária para as divisões mostradas).

Passo 6

Verifico a alternativa (c): ela afirma que u_{xx}+u_{yy}=\dfrac{u_x}{x}+\dfrac{u_y}{y} para x\neq0,y\neq0. Pelo cálculo do passo 5 vemos que falta o termo (144 x^{2}+196 y^{2}) f''(h) à direita; em geral ele não é nulo porque f''\neq0. Portanto (c) é falsa.

Passo 7

Verifico a alternativa (d): ela afirma que, se f'(13)\neq0, então o vetor \big(12,14,-1/f'(13)\big) é normal ao plano tangente do gráfico de u no ponto (1,1,u(1,1)). Lembrete didático: o gráfico de u é \{(x,y,z)\mid z=u(x,y)\} e um vetor normal ao plano tangente no ponto (x_0,y_0,u(x_0,y_0)) é (u_x(x_0,y_0),\,u_y(x_0,y_0),\,-1) (isto vem de considerar a superfície F(x,y,z)=u(x,y)-z=0 e \nabla F=(u_x,u_y,-1)). Avalio em (1,1): primeiro h(1,1)=6\cdot1^{2}+7\cdot1^{2}=13. Assim
u_x(1,1)=12\cdot 1\cdot f'(13)=12 f'(13),\qquad u_y(1,1)=14 f'(13).
Logo um vetor normal é \big(12 f'(13),\,14 f'(13),\,-1\big). Se f'(13)\neq0 então esse vetor é colinear com \big(12,14,-1/f'(13)\big) porque multiplicando \big(12,14,-1/f'(13)\big) por f'(13) obtemos exatamente \big(12 f'(13),14 f'(13),-1\big). Como normalidade é determinada até constante multiplicativa, \big(12,14,-1/f'(13)\big) é também um vetor normal. Assim (d) é verdadeira.

Passo 8

Verifico a alternativa (e): ela afirma que a derivada direcional D_{\vec{n}}u(1,1) é nula se \vec{n} é o vetor unitário na direção de -7\vec{i}+6\vec{j}. Lembrete didático: a derivada direcional de u na direção unitária \vec{n}=(n_1,n_2) é D_{\vec{n}}u=\nabla u\cdot \vec{n}=u_x n_1 + u_y n_2. Não importa o fator de normalização da direção, se o produto escalar com o vetor não normalizado é zero então também será zero com o unitário (pois normalizar multiplica por positivo). Considero o vetor não normalizado \vec{v}=(-7,6). Em (1,1) temos \nabla u(1,1)=(u_x(1,1),u_y(1,1))=(12 f'(13),\,14 f'(13)). O produto escalar é
\nabla u(1,1)\cdot \vec{v}=12 f'(13)\cdot (-7)+14 f'(13)\cdot 6=f'(13)\cdot(-84+84)=0.
Logo o produto escalar com \vec{v} é zero, e portanto também com a versão unitária de \vec{v} será zero. Assim D_{\vec{n}}u(1,1)=0. Portanto (e) é verdadeira.

Resposta

b
d
e

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