Questão 13
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão,
é uma função duas vezes diferenciável com
é dada pela função composta
.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
a.
, para todo
b.
, sempre que
c.
, sempre que
d. Se
, então o vetor
, é normal ao plano tangente ao gráfico de
pelo ponto de coordenadas
e. A derivada direcional
é nula se
é o vetor unitário na direção de
Vale 1,00 ponto(s).
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Passo 1
O enunciado dá:
duas vezes diferenciável com
,
e
, isto é
.
A tarefa é analisar cada alternativa (a) a (e) e decidir quais são verdadeiras. Lista das informações relevantes do enunciado: ,
podem ser obtidos a partir de
; as derivadas de
usam a regra da cadeia; para afirmações que usam divisão por
ou
há a condição implícita
ou
; o valor de
será útil nas alternativas (d) e (e).
A tarefa é analisar cada alternativa (a) a (e) e decidir quais são verdadeiras. Lista das informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras de
. Lembrete didático: a regra da cadeia para uma composição
diz que
(e análogo para
). Primeiro obtenho as derivadas de
:
Logo, usando a regra da cadeia,
Aqui escrevo
como
quando quiser lembrar que é avaliado em
.
Passo 3
Calcular as derivadas segundas
e
. Lembrete didático: para derivar um produto como
uso a regra do produto e, ao derivar
, aplico novamente a regra da cadeia (aparece
). Faço
e então
Como
, obtemos
De forma inteiramente análoga para
:
Passo 4
Verifico a alternativa (a): ela afirma que
para todo
. Calculo a expressão usando os resultados do passo anterior:
Subtraindo,
Isto não é identicamente zero para todos
(por exemplo, escolha
dá
porque
por hipótese). Portanto (a) é falsa.
Passo 5
Verifico a alternativa (b): ela afirma que, sempre que
e
,
Calculo o lado esquerdo com as expressões do passo 3:
Agora o termo
(a condição
é só para permitir tais divisões) é
Portanto
Mas note que
. Assim a igualdade proposta em (b) é exatamente a que encontramos. Conclusão: (b) é verdadeira (a condição
é necessária para as divisões mostradas).
Passo 6
Verifico a alternativa (c): ela afirma que
para
. Pelo cálculo do passo 5 vemos que falta o termo
à direita; em geral ele não é nulo porque
. Portanto (c) é falsa.
Passo 7
Verifico a alternativa (d): ela afirma que, se
, então o vetor
é normal ao plano tangente do gráfico de
no ponto
. Lembrete didático: o gráfico de
é
e um vetor normal ao plano tangente no ponto
é
(isto vem de considerar a superfície
e
). Avalio em
: primeiro
. Assim
Logo um vetor normal é
. Se
então esse vetor é colinear com
porque multiplicando
por
obtemos exatamente
. Como normalidade é determinada até constante multiplicativa,
é também um vetor normal. Assim (d) é verdadeira.
Passo 8
Verifico a alternativa (e): ela afirma que a derivada direcional
é nula se
é o vetor unitário na direção de
. Lembrete didático: a derivada direcional de
na direção unitária
é
. Não importa o fator de normalização da direção, se o produto escalar com o vetor não normalizado é zero então também será zero com o unitário (pois normalizar multiplica por positivo). Considero o vetor não normalizado
. Em
temos
. O produto escalar é
Logo o produto escalar com
é zero, e portanto também com a versão unitária de
será zero. Assim
. Portanto (e) é verdadeira.
Resposta
b
d
e
d
e