(E) Não sei
Q15: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(-1,3,1) e T(-2,3)=(4,-7,-1).
Determine (a, b, c)=T(-3,5). Assinale o valor de a.
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 com
T(1,-1)=(-1,3,1), \quad T(-2,3)=(4,-7,-1),
e pede T(-3,5)=(a,b,c). Como T é linear, basta expressar (-3,5) como combinação linear de (1,-1) e (-2,3) e usar a linearidade.

Passo 2

Procuramos u,v tais que
(-3,5)=u\,(1,-1)+v\,(-2,3).
Isto gera o sistema
u - 2v = -3, \quad -\,u + 3v = 5.

Passo 3

Somando as duas equações:
(u - 2v)+(-u + 3v)= -3 + 5 \quad\Longrightarrow\quad v=2.
Substituindo em u - 2v=-3:
u - 2\cdot2 = -3 \quad\Longrightarrow\quad u=1.

Passo 4

Pela linearidade de T:
T(-3,5) = u\,T(1,-1) + v\,T(-2,3) = 1\cdot(-1,3,1) + 2\cdot(4,-7,-1).

Passo 5

Calculando a soma:
(-1,3,1) + (8,-14,-2) = (7,-11,-1).
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T(-3,5)=(7,-11,-1),
e o valor de a é 7.

Resposta

7

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