Q14: Considere A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & -2 \\\\ 1 & 0 & -4 \\\\ -1 & 3 & -1\end{array}\right]. Calcule B=A^{-1}.
O valor de b_{11} é:
(A) 10
(B) 11
(C) 12

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\\\ 1 & 0 & -4\\\\ -1& 3 & -1 \end{pmatrix}
e pede o elemento b_{11} de B = A^{-1}. Para encontrar b_{11} basta usar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\mathrm{adj}(A)
onde b_{11} = \frac{C_{11}}{\det(A)} e C_{11} é o cofator correspondente.

Passo 2

Calcule o cofator C_{11}. Ele é dado por
C_{11} = (-1)^{1+1}\det\!\begin{pmatrix} 0 & -4\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 1\cdot\bigl(0\cdot(-1) - (-4)\cdot3\bigr) = 12.

Passo 3

Para obter \det(A) usamos a expansão pela primeira linha. Precisamos também de C_{12} e C_{13}:
\displaystyle C_{12} = (-1)^{1+2}\det\!\begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ -1& -1 \end{pmatrix} = -\bigl(1\cdot(-1) - (-4)\cdot(-1)\bigr) = -\bigl(-1 -4\bigr) = 5.
\displaystyle C_{13} = (-1)^{1+3}\det\!\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ -1& 3 \end{pmatrix} = +\bigl(1\cdot3 - 0\cdot(-1)\bigr) = 3.

Passo 4

Agora
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = 1\cdot12 + (-1)\cdot5 + (-2)\cdot3 = 12 -5 -6 = 1.

Passo 5

Como \det(A)=1, segue
b_{11} = \frac{C_{11}}{\det(A)} = \frac{12}{1} = 12.

Resposta

(C) 12

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