Negue as proposições:
real,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a proposição existencial:
.
O que se pede: escrever a negação dessa proposição (ou seja, uma proposição logicamente equivalente que negue o enunciado dado).
Informações relevantes: o quantificador é existencial ( ) e o domínio de
é o conjunto dos números reais
. Nada mais foi dado.
O que se pede: escrever a negação dessa proposição (ou seja, uma proposição logicamente equivalente que negue o enunciado dado).
Informações relevantes: o quantificador é existencial (
Passo 2
Regra lógica básica que vamos usar (expliquei passo a passo): a negação de uma proposição com quantificador existencial transforma o quantificador e nega a propriedade interna. Formalmente vale a equivalência
Interpretação em palavras: a negação de "existe um
com a propriedade
" é "para todo
, não acontece
". Pense assim: se não existe nenhum elemento que satisfaça
, então todo elemento falha em satisfazer
.
Passo 3
Aplique a regra ao nosso caso. Tomando
como a fórmula
, temos
Ou seja, a negação é uma proposição com quantificador universal seguida da negação da desigualdade.
Passo 4
Agora transformamos a negação da desigualdade em uma desigualdade equivalente. Regra prática: a negação de uma desigualdade estrita
é a desigualdade não estrita
. Aplicando aqui:
Explicando com calma: dizer "não é verdade que
" significa exatamente que
não é menor que
; portanto
é maior ou igual a
.
Passo 5
Substituindo no passo anterior obtemos a negação final:
Comentário didático rápido: essa proposição diz que “para todo número real
, o quadrado de
é maior ou igual a zero”. Isso é algo que normalmente se prova direto na aula: se
então
; se
então
e
. Exemplos concretos:
,
, e
. Portanto a negação obtida faz sentido e é verdadeira.