Negue as proposições:
\exists x real, x^{2}<0.

Passo 1

O enunciado nos dá a proposição existencial: \exists x\in\mathbb{R},\; x^{2}<0.
O que se pede: escrever a negação dessa proposição (ou seja, uma proposição logicamente equivalente que negue o enunciado dado).
Informações relevantes: o quantificador é existencial ( \exists) e o domínio de x é o conjunto dos números reais \mathbb{R}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Regra lógica básica que vamos usar (expliquei passo a passo): a negação de uma proposição com quantificador existencial transforma o quantificador e nega a propriedade interna. Formalmente vale a equivalência
\neg\bigl(\exists x\in D,\; P(x)\bigr)\equiv \forall x\in D,\; \neg P(x).
Interpretação em palavras: a negação de "existe um x com a propriedade P" é "para todo x, não acontece P". Pense assim: se não existe nenhum elemento que satisfaça P, então todo elemento falha em satisfazer P.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso caso. Tomando P(x) como a fórmula x^{2}<0, temos
\neg\bigl(\exists x\in\mathbb{R},\; x^{2}<0\bigr)\equiv \forall x\in\mathbb{R},\; \neg\bigl(x^{2}<0\bigr).
Ou seja, a negação é uma proposição com quantificador universal seguida da negação da desigualdade.

Passo 4

Agora transformamos a negação da desigualdade em uma desigualdade equivalente. Regra prática: a negação de uma desigualdade estrita a<b é a desigualdade não estrita a\ge b. Aplicando aqui:
\neg\bigl(x^{2}<0\bigr)\equiv x^{2}\ge 0.
Explicando com calma: dizer "não é verdade que x^{2}<0" significa exatamente que x^{2} não é menor que 0; portanto x^{2} é maior ou igual a 0.

Passo 5

Substituindo no passo anterior obtemos a negação final:
\forall x\in\mathbb{R},\; x^{2}\ge 0.
Comentário didático rápido: essa proposição diz que “para todo número real x, o quadrado de x é maior ou igual a zero”. Isso é algo que normalmente se prova direto na aula: se x\ge 0 então x\cdot x\ge 0; se x<0 então (-x)>0 e (-x)(-x)=x^{2}\ge0. Exemplos concretos: 2^{2}=4\ge0, (-3)^{2}=9\ge0, e 0^{2}=0\ge0. Portanto a negação obtida faz sentido e é verdadeira.

Resposta

\forall x\in\mathbb{R},\; x^{2}\ge 0

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