Exercício 1.26. Seja
o predicado
"
é par". Escreva simbolicamente:
- "Todo inteiro par é divisível por 2 ".
- “Existe um inteiro par que é primo”.
-
Um predicado é um símbolo que, aplicado a variáveis, forma uma sentença aberta (o que gera sentenças abertas).
Um predicado é um símbolo que, aplicado a variáveis, forma uma sentença aberta (o que gera sentenças abertas).
Passo 1
O enunciado dá o predicado
que significa "
é par" e pede que escrevamos, simbolicamente, duas frases sobre inteiros. As duas frases são:
- (1) “Todo inteiro par é divisível por 2”.
- (2) “Existe um inteiro par que é primo”.
Vou considerar o domínio de discurso como os inteiros, i.e.
, porque o enunciado fala explicitamente em “inteiro”.
Passo 2
Entendendo a frase (1) e como traduzi‑la:
- “Todo inteiro par …” indica quantificador universal:
. - “… é divisível por 2” precisa ser formalizado. A definição de "
é divisível por 2" é: existe um inteiro tal que . Em símbolos: .
Combinar essas duas partes com a lógica: quando se diz “Todo A é B” em lógica de predicados, usa‑se a forma
. Aqui
é
e
é a propriedade "existe
com
". Portanto a tradução simbólica é
Explicando cada símbolo:
-
= "para todo inteiro ". -
= " é par". -
= implicação lógica; aqui lê‑se “se é par, então …”. -
= "existe um inteiro tal que é igual a " (ou seja, é múltiplo de 2).
Exemplo concreto (para fixar): tomar
. Então
é verdadeiro e existe
com
, então a implicação é satisfeita.
Passo 3
Entendendo a frase (2) e como traduzi‑la:
- “Existe um inteiro par …” indica quantificador existencial:
. - “… que é primo” é uma propriedade que também podemos formalizar. Uma definição padrão de "
é primo" é: -
e - os únicos divisores positivos de
são e .
-
Em símbolos, usando a noção de divisibilidade
(lê‑se “d divide x”), a definição de primo fica:
Aqui:
-
garante que não estamos falando de ou números negativos; -
diz que qualquer divisor natural de é ou ou .
Agora combinamos “existe
inteiro” com “é par” e “é primo” usando conjunção:
. Substituindo a definição completa de primo obtemos a tradução explícita:
Interpretação em palavras: "Existe um inteiro
tal que
é par,
e todo divisor natural de
é 1 ou
". Um exemplo concreto que satisfaz essa fórmula é
:
é verdadeiro,
e os divisores naturais de 2 são
e
.
Passo 4
Observações úteis e formas alternativas curtas:
- Forma curta e comum para (1):
, onde é abreviação de "2 divide " (equivalente a ). - Forma curta para (2):
, usando uma abreviação para a propriedade de primalidade.
Vai dar certo — a tradução de frases para lógica é só prática. Procura sempre identificar o quantificador (todo =
, existe =
), a forma lógica (implicação para “todo A é B”, conjunção para “A e B”) e formalizar propriedades como divisibilidade e primalidade.