Exercício 1.26. Seja P(x) o predicado { }^{4} " x é par". Escreva simbolicamente:
  1. "Todo inteiro par é divisível por 2 ".
  2. “Existe um inteiro par que é primo”.

  1. { }^{4} Um predicado é um símbolo que, aplicado a variáveis, forma uma sentença aberta (o que gera sentenças abertas).

Passo 1

O enunciado dá o predicado P(x) que significa " x é par" e pede que escrevamos, simbolicamente, duas frases sobre inteiros. As duas frases são:
  • (1) “Todo inteiro par é divisível por 2”.
  • (2) “Existe um inteiro par que é primo”.
Vou considerar o domínio de discurso como os inteiros, i.e. x\in\mathbb{Z}, porque o enunciado fala explicitamente em “inteiro”.

Passo 2

Entendendo a frase (1) e como traduzi‑la:
  • “Todo inteiro par …” indica quantificador universal: \forall x\in\mathbb{Z}.
  • “… é divisível por 2” precisa ser formalizado. A definição de " x é divisível por 2" é: existe um inteiro k tal que x=2k. Em símbolos: \exists k\in\mathbb{Z}\; x=2k.
Combinar essas duas partes com a lógica: quando se diz “Todo A é B” em lógica de predicados, usa‑se a forma \forall x\,(A(x)\to B(x)). Aqui A(x) é P(x) e B(x) é a propriedade "existe k\in\mathbb{Z} com x=2k". Portanto a tradução simbólica é
\forall x\in\mathbb{Z}\;\bigl(P(x)\to \exists k\in\mathbb{Z}\; x=2k\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \forall x\in\mathbb{Z} = "para todo inteiro x".
  • P(x) = " x é par".
  • \to = implicação lógica; aqui lê‑se “se x é par, então …”.
  • \exists k\in\mathbb{Z}\; x=2k = "existe um inteiro k tal que x é igual a 2k" (ou seja, x é múltiplo de 2).
Exemplo concreto (para fixar): tomar x=6. Então P(6) é verdadeiro e existe k=3 com 6=2\cdot3, então a implicação é satisfeita.

Passo 3

Entendendo a frase (2) e como traduzi‑la:
  • “Existe um inteiro par …” indica quantificador existencial: \exists x\in\mathbb{Z}.
  • “… que é primo” é uma propriedade que também podemos formalizar. Uma definição padrão de " x é primo" é:
    • x>1 e
    • os únicos divisores positivos de x são 1 e x.
Em símbolos, usando a noção de divisibilidade d\mid x (lê‑se “d divide x”), a definição de primo fica:
\mathrm{Primo}(x)\equiv \bigl(x>1\bigr)\land \bigl(\forall d\in\mathbb{N}\; (d\mid x \to (d=1\lor d=x))\bigr).
Aqui:
  • x>1 garante que não estamos falando de 1 ou números negativos;
  • \forall d\in\mathbb{N}\; (d\mid x \to (d=1\lor d=x)) diz que qualquer divisor natural d de x é ou 1 ou x.
Agora combinamos “existe x inteiro” com “é par” e “é primo” usando conjunção: \exists x\,(P(x)\land \mathrm{Primo}(x)). Substituindo a definição completa de primo obtemos a tradução explícita:
\exists x\in\mathbb{Z}\;\Bigl(P(x)\land x>1 \land \forall d\in\mathbb{N}\; \bigl(d\mid x \to (d=1\lor d=x)\bigr)\Bigr).
Interpretação em palavras: "Existe um inteiro x tal que x é par, x>1 e todo divisor natural de x é 1 ou x". Um exemplo concreto que satisfaz essa fórmula é x=2: P(2) é verdadeiro, 2>1 e os divisores naturais de 2 são 1 e 2.

Passo 4

Observações úteis e formas alternativas curtas:
  • Forma curta e comum para (1): \forall x\in\mathbb{Z}\; (P(x)\to 2\mid x), onde 2\mid x é abreviação de "2 divide x" (equivalente a \exists k\in\mathbb{Z}\; x=2k).
  • Forma curta para (2): \exists x\in\mathbb{Z}\; (P(x)\land \mathrm{Primo}(x)), usando uma abreviação \mathrm{Primo}(x) para a propriedade de primalidade.
Vai dar certo — a tradução de frases para lógica é só prática. Procura sempre identificar o quantificador (todo = \forall, existe = \exists), a forma lógica (implicação para “todo A é B”, conjunção para “A e B”) e formalizar propriedades como divisibilidade e primalidade.

Resposta

\forall x\in\mathbb{Z}\;\bigl(P(x)\to \exists k\in\mathbb{Z}\; x=2k\bigr)
\exists x\in\mathbb{Z}\;\Bigl(P(x)\land x>1 \land \forall d\in\mathbb{N}\; \bigl(d\mid x \to (d=1\lor d=x)\bigr)\Bigr)

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