Negue as seguintes sentenças lógicas:
p \leftrightarrow r

Passo 1

O enunciado dá a sentença lógica \,p \leftrightarrow r\, e pede que se obtenha a sua negação.
Informações relevantes: a sentença dada é o bicondicional entre \,p\, e \,r\,. O objetivo é escrever uma fórmula logicamente equivalente a \,\neg(p \leftrightarrow r)\,.

Passo 2

Lembrando uma definição útil: o bicondicional pode ser escrito como a conjunção de duas implicações. Isto é,
p \leftrightarrow r \equiv (p \rightarrow r) \land (r \rightarrow p).
Aqui cada implicação p \rightarrow r significa “se p então r”.

Passo 3

Agora negamos a expressão da Passo 2 e aplicamos a Lei de De Morgan para negação de uma conjunção:
\neg(p \leftrightarrow r) \equiv \neg\big((p \rightarrow r)\land(r \rightarrow p)\big) \equiv \neg(p \rightarrow r)\\ \lor\\ \neg(r \rightarrow p).
A Lei de De Morgan usada diz que \neg(A\land B)\equiv \neg A\lor \neg B.

Passo 4

Transformamos cada negação de implicação usando a equivalência \,p\rightarrow r \equiv \neg p \lor r\,. Assim
\neg(p \rightarrow r)\equiv \neg(\neg p \lor r)\equiv p \land \neg r,
por De Morgan. Do mesmo modo,
\neg(r \rightarrow p)\equiv r \land \neg p.
Portanto, juntando:
\neg(p \leftrightarrow r)\equiv (p \land \neg r)\\ \lor\\ (r \land \neg p).

Passo 5

Interpretação verbal e nome usual: a fórmula obtida diz “ou p é verdadeiro e r falso, ou r é verdadeiro e p falso”. Essa é exatamente a definição do OU exclusivo (exclusive or, XOR): a negação do bicondicional significa “exatamente uma das proposições é verdadeira”.

Passo 6

Mostro uma forma alternativa equivalente, partindo da forma padrão do bicondicional:
p \leftrightarrow r \equiv (p\land r)\lor(\neg p\land\neg r).
Negando e aplicando De Morgan:
\neg(p \leftrightarrow r)\equiv \neg(p\land r)\land\neg(\neg p\land\neg r) \equiv (\neg p\lor\neg r)\land(p\lor r).
Posso verificar que esta forma é equivalente à do Passo 4 aplicando distributividade:
(\neg p\lor\neg r)\land(p\lor r) \equiv (p\land\neg r)\lor(\neg p\land r),
pois os termos (\neg p\land p) e (\neg r\land r) são contraditórios e desaparecem.

Resposta

(p \land \neg r)\\ \lor\\ (r \land \neg p)
(\neg p \lor \neg r)\\ \land\\ (p \lor r)

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