Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O enunciado pede que neguemos a sentença lógica dada. A informação que temos é exatamente a fórmula:
Ou seja, temos um quantificador universal sobre uma implicação entre as propriedades
e
. O objetivo é escrever a negação lógica dessa sentença de forma equivalente.
Passo 2
Vamos lembrar o significado dos símbolos envolvidos (explicação passo a passo, bem didática):
-
significa "para todo " — a sentença afirma que é verdadeira para cada objeto do universo. -
significa "existe algum " — a sentença afirma que há pelo menos um para o qual é verdadeira. - A implicação
é uma fórmula que é falsa somente no caso em que é verdadeira e é falsa; em todos os outros casos a implicação é verdadeira.
Passo 3
Primeiro passo formal para negar a fórmula inteira: escrevemos a negação externa
Agora usamos a equivalência lógica (uma “Lei de De Morgan” para quantificadores):
Intuição: "não é verdade que todo
satisfaz
" significa "existe algum
que não satisfaz
".
Aplicando essa equivalência com
sendo
, obtemos
Passo 4
Agora precisamos simplificar
. Usamos a equivalência da negação da implicação:
Motivo: a única situação em que
é falsa é quando
é verdadeiro e
é falso; isso é exatamente
.
Aplicando isso ao nosso caso com
e
, obtemos
Passo 5
Substituindo na fórmula com o quantificador existencial:
Essa é a forma final da negação: “existe algum
tal que
é verdadeira e
é falsa”.
Passo 6
Um exemplo concreto para fixar a ideia (só para entender): suponha que o universo sejam os inteiros,
= "
é par" e
= "
é divisível por
". A sentença original
diz "todo número par é divisível por
" — isso é falso. A negação diz
: "existe algum número que é par e não é divisível por
" — por exemplo
satisfaz
.