Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall x)(p(x) \rightarrow q(x)))

Passo 1

O enunciado pede que neguemos a sentença lógica dada. A informação que temos é exatamente a fórmula:
(\forall x)\bigl(p(x)\rightarrow q(x)\bigr).
Ou seja, temos um quantificador universal sobre uma implicação entre as propriedades p(x) e q(x). O objetivo é escrever a negação lógica dessa sentença de forma equivalente.

Passo 2

Vamos lembrar o significado dos símbolos envolvidos (explicação passo a passo, bem didática):
  • \forall x significa "para todo x" — a sentença (\forall x)A(x) afirma que A(x) é verdadeira para cada objeto x do universo.
  • \exists x significa "existe algum x" — a sentença (\exists x)A(x) afirma que há pelo menos um x para o qual A(x) é verdadeira.
  • A implicação p\rightarrow q é uma fórmula que é falsa somente no caso em que p é verdadeira e q é falsa; em todos os outros casos a implicação é verdadeira.

Passo 3

Primeiro passo formal para negar a fórmula inteira: escrevemos a negação externa
\neg\bigl((\forall x)(p(x)\rightarrow q(x))\bigr).
Agora usamos a equivalência lógica (uma “Lei de De Morgan” para quantificadores):
\neg\bigl((\forall x)A(x)\bigr)\equiv(\exists x)\neg A(x).
Intuição: "não é verdade que todo x satisfaz A" significa "existe algum x que não satisfaz A".
Aplicando essa equivalência com A(x) sendo p(x)\rightarrow q(x), obtemos
(\exists x)\neg\bigl(p(x)\rightarrow q(x)\bigr).

Passo 4

Agora precisamos simplificar \neg\bigl(p(x)\rightarrow q(x)\bigr). Usamos a equivalência da negação da implicação:
\neg\bigl(p\rightarrow q\bigr)\equiv p\land\neg q.
Motivo: a única situação em que p\rightarrow q é falsa é quando p é verdadeiro e q é falso; isso é exatamente p\land\neg q.
Aplicando isso ao nosso caso com p(x) e q(x), obtemos
\neg\bigl(p(x)\rightarrow q(x)\bigr)\equiv p(x)\land\neg q(x).

Passo 5

Substituindo na fórmula com o quantificador existencial:
(\exists x)\bigl(p(x)\land\neg q(x)\bigr).
Essa é a forma final da negação: “existe algum x tal que p(x) é verdadeira e q(x) é falsa”.

Passo 6

Um exemplo concreto para fixar a ideia (só para entender): suponha que o universo sejam os inteiros, p(x) = " x é par" e q(x) = " x é divisível por 4". A sentença original (\forall x)(p(x)\rightarrow q(x)) diz "todo número par é divisível por 4" — isso é falso. A negação diz (\exists x)(p(x)\land\neg q(x)): "existe algum número que é par e não é divisível por 4" — por exemplo x=2 satisfaz p(x)\land\neg q(x).

Resposta

(\exists x)\bigl(p(x)\land\neg q(x)\bigr)

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