Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t)\) representa a saída do sistema, e \(x(t)\) é a entrada do sistema. \(y(t)= \begin{cases}0, & t<0 \\\ x(t)+x(t-2), & t \geq 0\end{cases}

Passo 1

O sistema dado é
y(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\ x(t)+x(t-2), & t \ge 0. \end{cases}
Queremos verificar as cinco propriedades gerais de sistemas contínuos em tempo: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e estável. Para isso, usaremos as definições padrão de cada propriedade.

Passo 2

Memória (memoryless) significa que, para cada instante t, a saída y(t) depende apenas de x(t). Aqui, para t\ge0 temos
y(t)=x(t)+x(t-2),
ou seja, y(t) também depende de x(t-2). Logo, o sistema não é sem memória.

Passo 3

Invariância no tempo requer que, se a entrada for deslocada em t_0\), a saída seja igualmente deslocada: definindo \(x_1(t)=x(t-t_0)\), deveríamos ter \(y_1(t)=y(t-t_0)\). No entanto, para \(x_1\) obtemos \[y_1(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\ x(t-t_0)+x(t-t_0-2), & t\ge0, \end{cases}
enquanto
y(t-t_0)= \begin{cases} 0, & t<t_0,\\\ x(t-t_0)+x(t-t_0-2), & t\ge t_0. \end{cases}
As regiões de definição não coincidem t<0\] versus \(t<t_0, então o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Linearidade exige aditividade e homogeneidade. Note que, para t\ge0\), a saída é uma combinação linear \(x(t)+x(t-2)\), e para \(t<0\) vale \(0\). Seja \(x_a\mapsto y_a\) e \(x_b\mapsto y_b\). Então para qualquer escalares \(\alpha,\beta\) a entrada \(\alpha x_a+\beta x_b\) gera \[y=\begin{cases} 0,&t<0,\\\ \alpha x_a(t)+\alpha x_a(t-2)+\beta x_b(t)+\beta x_b(t-2),&t\ge0, \end{cases}
isto é (\alpha y_a(t)+\beta y_b(t)]. Portanto, o sistema é linear.

Passo 5

Causalidade significa que y(t) depende apenas de valores de x(\tau) com \tau\le t. Para t<0, y(t)=0 independe de x. Para t\ge0, y(t)=x(t)+x(t-2). Note que t-2\le t, então não há dependência de valores futuros de x. Logo, o sistema é causal.

Passo 6

Estabilidade BIBO pede que qualquer entrada limitada leve a uma saída limitada. Se \lvert x(t)\rvert\le M para todo t, então para t\ge0
\lvert y(t)\rvert=\lvert x(t)+x(t-2)\rvert\le \lvert x(t)\rvert+\lvert x(t-2)\rvert\le M+M=2M,
e para t<0 vale y(t)=0. Assim y(t) também é limitada, e o sistema é estável.

Resposta

Sem memória: não
Invariante no tempo: não
Linear: sim
Causal: sim
Estável: sim

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